Номер 3, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Все ребра равны 1 см, то есть:
$AB = BC = CD = DA = 1 \text{ см}$ (стороны основания)
$SA = SB = SC = SD = 1 \text{ см}$ (боковые ребра)

Перевод в систему СИ:
Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки S до плоскости ABC, обозначим его $h$.

Решение:

Расстояние от вершины правильной пирамиды S до плоскости ее основания ABC является высотой пирамиды. Опустим высоту SO на основание ABCD, где O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

1. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной $a = 1$ см.

2. Найдем длину диагонали AC этого квадрата. Треугольник ABC является прямоугольным, где $\angle B = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$ $AC = \sqrt{2} \text{ см}$

3. Точка O — центр квадрата, она же точка пересечения его диагоналей, которые делятся этой точкой пополам. Следовательно, длина отрезка AO составляет половину длины диагонали AC: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$

4. Рассмотрим треугольник SAO. Он является прямоугольным, так как высота SO перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, включая прямую AO. В этом треугольнике:
• $SA$ — гипотенуза, боковое ребро пирамиды, $SA = 1$ см.
• $AO$ — катет, половина диагонали основания, $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
• $SO$ — катет, высота пирамиды, которую нужно найти.

5. По теореме Пифагора для треугольника SAO: $SA^2 = AO^2 + SO^2$

Выразим из формулы искомую высоту $SO$: $SO^2 = SA^2 - AO^2$ $SO^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$

Таким образом, расстояние от точки S до плоскости ABC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.