Номер 7, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $CDD_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина ребра $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в СИ: $a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1$, которое обозначим $\rho(A, (CDD_1))$.

Решение:

Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость боковой грани $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, поскольку содержит ребро $DD_1$, перпендикулярное этому основанию.

Расстояние от точки $A$, которая лежит в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой пересечения этих плоскостей. Прямой пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $CDD_1$ является прямая $CD$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $A$ до прямой, содержащей сторону $CD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $ACD$ в плоскости основания. Найдем длины его сторон, зная, что сторона шестиугольника $a=1$ см.

1. Сторона $CD$ является стороной шестиугольника, поэтому $CD = a = 1$ см.

2. Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Ее длину можно найти по теореме косинусов из треугольника $ABC$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, значит $\angle ABC = 120^\circ$. Стороны $AB=BC=a=1$ см.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Отсюда $AC = \sqrt{3}$ см.

3. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше стороны шестиугольника: $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Проверим, является ли треугольник $ACD$ прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора:

$AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AD^2 = 2^2 = 4$

Так как $AC^2 + CD^2 = AD^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $C$ ($\angle ACD = 90^\circ$).

Это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $CD$. Таким образом, длина отрезка $AC$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Следовательно, искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1$ равно длине $AC$.

$\rho(A, (CDD_1)) = AC = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.