Страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $CDD_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина ребра $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в СИ: $a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1$, которое обозначим $\rho(A, (CDD_1))$.

Решение:

Так как призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость боковой грани $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, поскольку содержит ребро $DD_1$, перпендикулярное этому основанию.

Расстояние от точки $A$, которая лежит в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой пересечения этих плоскостей. Прямой пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $CDD_1$ является прямая $CD$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $A$ до прямой, содержащей сторону $CD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $ACD$ в плоскости основания. Найдем длины его сторон, зная, что сторона шестиугольника $a=1$ см.

1. Сторона $CD$ является стороной шестиугольника, поэтому $CD = a = 1$ см.

2. Сторона $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Ее длину можно найти по теореме косинусов из треугольника $ABC$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, значит $\angle ABC = 120^\circ$. Стороны $AB=BC=a=1$ см.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Отсюда $AC = \sqrt{3}$ см.

3. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше стороны шестиугольника: $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Проверим, является ли треугольник $ACD$ прямоугольным, применив обратную теорему Пифагора:

$AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AD^2 = 2^2 = 4$

Так как $AC^2 + CD^2 = AD^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $C$ ($\angle ACD = 90^\circ$).

Это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $CD$. Таким образом, длина отрезка $AC$ является расстоянием от точки $A$ до прямой $CD$.

Следовательно, искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1$ равно длине $AC$.

$\rho(A, (CDD_1)) = AC = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDE_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Переведем данные в систему СИ (хотя для решения это не обязательно, т.к. ответ можно дать в сантиметрах):

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти

Расстояние от точки $A$ до плоскости $BDE_1$.

Решение

Для решения задачи применим координатный метод. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы (шестиугольника $ABCDEF$). Ось $Oz$ направим перпендикулярно основанию, вдоль высоты призмы. Ось $Ox$ проведем через вершины $D$ и $A$. Ось $Oy$ будет перпендикулярна оси $Ox$ в плоскости основания.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до любой вершины равно стороне $a$. Высота призмы по условию также равна $a$. В нашем случае $a=1$ см.

Определим координаты необходимых точек в этой системе:

• Точка $A$ лежит на положительной части оси $Ox$ на расстоянии $a$ от центра. Ее координаты: $A(1, 0, 0)$.
• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ вокруг начала координат на угол $60^\circ$ в плоскости $xy$. Ее координаты: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $D$ лежит на отрицательной части оси $Ox$ на расстоянии $a$ от центра. Ее координаты: $D(-1, 0, 0)$.
• Точка $E_1$ лежит в верхнем основании ($z=1$) над точкой $E$. Координаты точки $E$ получаются поворотом $A$ на $240^\circ$. $E(1 \cdot \cos(240^\circ))$

9. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки A до плоскости $CB_1 D_1$.

10. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки A

Дано:
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:
Расстояние от точки A до плоскости $(CB_1D_1)$.

Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно.

В данной системе координат найдем координаты необходимых точек:

• Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, следовательно, ее координаты $A(1, 0, 0)$.
• Точка $C$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты $C(0, 1, 0)$.
• Точка $D_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат, ее координаты $D_1(0, 0, 1)$.
• Координаты точки $B_1$ равны $(1, 1, 1)$.

Плоскость проходит через точки $C(0, 1, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $D_1(0, 0, 1)$. Составим уравнение этой плоскости вида $ax + by + cz + d = 0$.
Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{CB_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$.
$\vec{CD_1} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{CB_1} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$.
Координаты вектора нормали: $\vec{n} = (1, -1, -1)$.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x - 1 \cdot y - 1 \cdot z + d = 0$, или $x - y - z + d = 0$.
Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в уравнение координаты любой точки плоскости, например, $C(0, 1, 0)$:
$0 - 1 - 0 + d = 0 \Rightarrow d = 1$.
Уравнение плоскости $(CB_1D_1)$: $x - y - z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $x - y - z + 1 = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:
$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Подставляем наши значения:
$\rho = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\rho = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{

10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до плоскости $BDC_1$.

11. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$, ребра которой

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся методом объемов. Рассмотрим пирамиду $ABDC_1$. Искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$ является высотой $h$ этой пирамиды, опущенной из вершины $A$ на основание $BDC_1$.

Объем пирамиды можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.

1. Вычислим объем пирамиды, приняв за ее основание треугольник $ABD$, а за вершину — точку $C_1$.

Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как лежит в основании куба (грань $ABCD$ — квадрат). Катеты $AB$ и $AD$ равны ребру куба, то есть $AB = 1$ и $AD = 1$.

Площадь основания $S_{ABD}$ равна:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Высотой пирамиды $C_1ABD$ является ребро $CC_1$, перпендикулярное плоскости основания $ABCD$. Длина высоты $H = CC_1 = 1$.

Тогда объем пирамиды $V_{ABDC_1}$ равен:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot CC_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

2. Теперь рассмотрим ту же пирамиду, но с основанием $BDC_1$. Искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDC_1$ будет высотой $h$, опущенной из вершины $A$ на это основание.

Найдем площадь треугольника $BDC_1$. Для этого определим длины его сторон. Стороны $BD$, $DC_1$ и $BC_1$ являются диагоналями граней единичного куба.

Длина диагонали грани куба со стороной $a=1$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $BD = \sqrt{2}$, $DC_1 = \sqrt{2}$, $BC_1 = \sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $BDC_1$ равны, он является равносторонним со стороной $\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a_{tr}$ вычисляется по формуле $S = \frac{a_{tr}^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{BDC_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Приравняем объемы, вычисленные двумя способами.

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{BDC_1} \cdot h$, где $h$ — искомое расстояние.

$\frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$

$\frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot h$

Выразим $h$:

$h = \frac{1/6}{\sqrt{3}/6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $BCA_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма

Все ребра равны 1 см.

$AB = BC = CA = AA_1 = 1$ см

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $BCA_1$, которое обозначим как $d(A, (BCA_1))$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Мы решим задачу геометрическим методом.

1. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и середину ребра $BC$. Обозначим середину $BC$ как точку $M$. Искомая плоскость - $(BCA_1)$.

2. В основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$. Медиана $AM$ в равностороннем треугольнике является также и высотой, следовательно, $AM \perp BC$.

3. Призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, поэтому боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $AA_1 \perp BC$.

4. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $AA_1$ в плоскости $(AA_1M)$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(AA_1M)$.

5. Плоскость $(BCA_1)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(AA_1M)$. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(BCA_1)$ перпендикулярна плоскости $(AA_1M)$.

6. Линией пересечения плоскостей $(BCA_1)$ и $(AA_1M)$ является прямая $A_1M$.

7. Так как плоскости $(BCA_1)$ и $(AA_1M)$ перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный из точки $A$ (лежащей в плоскости $(AA_1M)$) на плоскость $(BCA_1)$, будет лежать в плоскости $(AA_1M)$ и будет перпендикулярен линии их пересечения $A_1M$. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где $H \in A_1M$. Длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

8. Рассмотрим треугольник $AA_1M$. Поскольку $AA_1 \perp (ABC)$, то $AA_1 \perp AM$. Следовательно, треугольник $AA_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

9. Найдем длины катетов этого треугольника:

- $AA_1 = 1$ см (по условию).

- $AM$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1. $AM = \frac{BC \sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

10. Найдем длину гипотенузы $A_1M$ по теореме Пифагора:

$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$A_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

11. Искомое расстояние $AH$ является высотой прямоугольного треугольника $AA_1M$, проведенной к гипотенузе. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{AA_1M} = \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot A_1M \cdot AH$

Отсюда получаем равенство:

$AA_1 \cdot AM = A_1M \cdot AH$

Подставим известные значения и найдем $AH$:

$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot AH$

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$AH = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ см.

Ответ: $ \frac{\sqrt{21}}{7} $ см.

12. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$ (обозначим его $h$).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Расстояние от точки A до плоскости $CA_1B_1$ равно высоте тетраэдра $ACA_1B_1$, опущенной из вершины A на основание $CA_1B_1$. Объем этого тетраэдра можно вычислить двумя способами:

1. Через смешанное произведение векторов, выходящих из одной вершины, например A: $V = \frac{1}{6} |(\vec{AC}, \vec{AA_1}, \vec{AB_1})|$.

2. Через площадь основания и высоту: $V = \frac{1}{3} S_{CA_1B_1} \cdot h$.

Приравняв эти выражения, можно найти высоту $h$. Для вычислений введем прямоугольную систему координат. Расчеты будем вести в сантиметрах.

1. Введение системы координат и определение координат вершин.

Поместим начало координат в точку A. Ось Ox направим вдоль ребра AB, а ось Oz — вдоль ребра $AA_1$. Тогда основание ABC лежит в плоскости Oxy.

Координаты вершин:
- $A(0, 0, 0)$.
- $B(1, 0, 0)$, так как $|AB| = 1$.
- Треугольник ABC равносторонний, $\angle CAB = 60^\circ$. Координаты C: $x_C = |AC|\cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $y_C = |AC|\sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Высота призмы равна 1, значит $A_1(0, 0, 1)$ и $B_1(1, 0, 1)$.

2. Вычисление объема тетраэдра $ACA_1B_1$.

Найдем векторы, исходящие из вершины A к другим вершинам тетраэдра:
$\vec{AC} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$
$\vec{AB_1} = (1, 0, 1)$

Объем тетраэдра равен $1/6$ модуля смешанного произведения этих векторов, которое вычисляется как определитель:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} \left| \frac{1}{2}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \frac{\sqrt{3}}{2}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) \right|$

$V = \frac{1}{6} \left| -\frac{\sqrt{3}}{2}(-1) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

3. Вычисление площади основания $S_{CA_1B_1}$.

Найдем длины сторон треугольника $CA_1B_1$, используя координаты его вершин $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$.
$|CA_1|^2 = (0 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \implies |CA_1| = \sqrt{2} \text{ см}$.
$|CB_1|^2 = (1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = 2 \implies |CB_1| = \sqrt{2} \text{ см}$.
$|A_1B_1|$ — это ребро верхнего основания, его длина $|A_1B_1|=1 \text{ см}$.

Треугольник $CA_1B_1$ является равнобедренным. Найдем его площадь. Проведем высоту $h_C$ из вершины C к основанию $A_1B_1$. По теореме Пифагора:
$h_C^2 = |CA_1|^2 - \left(\frac{|A_1B_1|}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
$h_C = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \text{ см}$.

Площадь треугольника $CA_1B_1$:
$S_{CA_1B_1} = \frac{1}{2} \cdot |A_1B_1| \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$.

4. Нахождение расстояния $h$.

Теперь, зная объем тетраэдра и площадь его основания, найдем высоту $h$, которая и является искомым расстоянием:
$h = \frac{3V}{S_{CA_1B_1}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} \text{ см}$.

Ответ:$\frac{\sqrt{21}}{7} \text{ см}$.

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости SCD, обозначим его как $\rho(A, (SCD))$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр ASCD. Его объем $V_{ASCD}$ можно выразить двумя способами.

1. С одной стороны, если принять грань SCD за основание, а точку A за вершину, то объем тетраэдра равен:

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot \rho(A, (SCD))$

Отсюда искомое расстояние равно:

$\rho(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{ASCD}}{S_{SCD}}$

2. С другой стороны, тот же объем можно вычислить, приняв за основание грань ACD, а за вершину – точку S. Тогда высота тетраэдра будет совпадать с высотой SO всей пирамиды SABCD, где O – центр квадрата в основании.

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot SO$

Найдем все необходимые величины, выражая их через длину ребра $a=1$ см.

Площадь грани SCD. Так как все ребра пирамиды равны, то грань SCD является равносторонним треугольником со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{SCD} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем тетраэдра $V_{ASCD}$ вторым способом.

Основание пирамиды ABCD – квадрат со стороной $a$. Треугольник ACD – это прямоугольный треугольник, который является половиной квадрата. Его площадь:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \text{ см}^2$.

Найдем высоту пирамиды SO. O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Катет OC – это половина диагонали квадрата AC. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см. Тогда $OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см. Гипотенуза SC – это боковое ребро, $SC = a = 1$ см. По теореме Пифагора:

$SO^2 = SC^2 - OC^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра ASCD:

$V_{ASCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12} \text{ см}^3$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для искомого расстояния:

$\rho(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{ASCD}}{S_{SCD}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости SCD равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SDE$.

Дано:

SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ см

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$ см

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости SDE, которое обозначим как $\rho(A, (SDE))$

Решение:

Воспользуемся методом объемов. Расстояние от точки A до плоскости SDE является высотой тетраэдра ASDE, опущенной из вершины A на основание SDE. Объем этого тетраэдра можно выразить двумя способами:

$V_{ASDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{SDE} \cdot \rho(A, (SDE))$

$V_{ASDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{ADE} \cdot h$

где $S_{SDE}$ - площадь треугольника SDE, $S_{ADE}$ - площадь треугольника ADE, а $h$ - высота пирамиды SABCDEF.

Приравняв оба выражения, получим формулу для искомого расстояния:

$\rho(A, (SDE)) = \frac{S_{ADE} \cdot h}{S_{SDE}}$

Найдем необходимые величины пошагово.

1. Найдем высоту пирамиды $h$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть O - центр этого шестиугольника. Тогда высота пирамиды $h = SO$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершины равно стороне шестиугольника, то есть $OA = a = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA (угол SOA прямой). Гипотенуза $SA$ - это боковое ребро $l=2$ см, катет $OA=1$ см, катет $SO=h$. По теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

2. Найдем площадь треугольника ADE.

Треугольник ADE лежит в плоскости основания. Найдем длины его сторон.

Сторона $DE$ является стороной основания, поэтому $DE = a = 1$ см.

Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Ее длина равна удвоенной стороне основания: $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Сторону $AE$ найдем по теореме косинусов из треугольника AOE. В этом треугольнике $OA = OE = a = 1$ см, а угол $\angle AOE$ состоит из двух центральных углов шестиугольника ($\angle AOF + \angle FOE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$).

$AE^2 = OA^2 + OE^2 - 2 \cdot OA \cdot OE \cdot \cos(120^\circ)$

$AE^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$AE = \sqrt{3}$ см.

Итак, стороны треугольника ADE равны $1$, $2$, и $\sqrt{3}$. Проверим, является ли он прямоугольным, по теореме, обратной теореме Пифагора:

$DE^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AD^2 = 2^2 = 4$

Поскольку $DE^2 + AE^2 = AD^2$, треугольник ADE является прямоугольным с прямым углом при вершине E.

Площадь прямоугольного треугольника ADE равна половине произведения его катетов:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

3. Найдем площадь треугольника SDE.

Треугольник SDE является боковой гранью. Его стороны: $SD = SE = l = 2$ см (боковые ребра) и $DE = a = 1$ см (сторона основания). Это равнобедренный треугольник.

Проведем в нем высоту SM к основанию DE. Так как треугольник равнобедренный, SM является также и медианой, поэтому $DM = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника SMD по теореме Пифагора найдем высоту SM:

$SM^2 = SD^2 - DM^2 = 2^2 - (\frac{1}{2})^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см.

Площадь треугольника SDE равна:

$S_{SDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см$^2$.

4. Вычислим искомое расстояние.

Подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$\rho(A, (SDE)) = \frac{S_{ADE} \cdot h}{S_{SDE}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho(A, (SDE)) = \frac{6 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{15} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{5}$ см.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $DEA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Для удобства вычислений будем использовать сантиметры, так как итоговый результат не зависит от выбора единиц измерения, если они согласованы.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $DEA_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Oz$ вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ вдоль ребра основания $AB$. Плоскость $Oxy$ будет совпадать с плоскостью нижнего основания призмы $ABCDEF$.

Так как все ребра призмы равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $H=1$.

Найдем координаты необходимых для решения точек: $A$, $A_1$, $D$, $E$.

1. Координаты точки $A$ являются началом координат: $A(0, 0, 0)$.

2. Точка $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат: $A_1(0, 0, 1)$.

3. Для нахождения координат точек $D$ и $E$ рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.
Координаты точки $B$: $B(1, 0, 0)$.
Координаты точки $C$: из точки $B$ нужно отложить отрезок длиной 1 под углом $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ к оси $Ox$. $x_C = x_B + 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 + 1/2 = 3/2$. $y_C = y_B + 1 \cdot \sin(60^\circ) = 0 + \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$. Получаем $C(3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$ и вдвое длиннее ее. Таким образом, вектор $\vec{AD} = 2\vec{BC}$.
$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (3/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{AD} = 2 \cdot (1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.
Координаты точки $D$: $D = A + \vec{AD} = (0,0,0) + (1, \sqrt{3}, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна и противоположна по направлению стороне $AB$. Таким образом, $\vec{DE} = -\vec{AB}$.
$\vec{AB} = (1, 0, 0)$, следовательно, $\vec{DE} = (-1, 0, 0)$.
Координаты точки $E$: $E = D + \vec{DE} = (1, \sqrt{3}, 0) + (-1, 0, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Итак, мы имеем координаты точек, определяющих плоскость $DEA_1$:
$D(1, \sqrt{3}, 0)$, $E(0, \sqrt{3}, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$.

Составим уравнение плоскости $DEA_1$, проходящей через эти три точки. Уравнение плоскости в общем виде: $ax+by+cz+d=0$.
Для этого найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение векторов $\vec{ED}$ и $\vec{EA_1}$.
$\vec{ED} = D - E = (1 - 0, \sqrt{3} - \sqrt{3}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.
$\vec{EA_1} = A_1 - E = (0 - 0, 0 - \sqrt{3}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.
$\vec{n} = \vec{ED} \times \vec{EA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$.
Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $0 \cdot x - 1 \cdot y - \sqrt{3} \cdot z + d = 0$, или $-y - \sqrt{3}z + d = 0$.
Для нахождения коэффициента $d$ подставим в уравнение координаты любой из точек, принадлежащих плоскости, например, $E(0, \sqrt{3}, 0)$:
$ -(\sqrt{3}) - \sqrt{3}(0) + d = 0 \Rightarrow d = \sqrt{3}$.
Получаем уравнение плоскости $DEA_1$: $-y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$, или $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние $h$ от точки $A(0, 0, 0)$ до плоскости $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:
$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$, а коэффициенты уравнения плоскости: $A=0, B=1, C=\sqrt{3}, D=-\sqrt{3}$.
$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку все вычисления проводились для ребра длиной 1 см, то и расстояние получено в сантиметрах.

Ответ: Расстояние от точки A до плоскости $DEA_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $DEF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна $a = 1 \text{ см}$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $DEF_1$, обозначим его $\rho(A, (DEF_1))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром $O$ в центре нижнего основания призмы $ABCDEF$. Направим ось $Ox$ через вершину $A$, а ось $Oz$ – вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основание – правильный шестиугольник. Сторона основания равна $a=1$, высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

1. Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a=1$ от начала координат. Ее координаты: $A(1, 0, 0)$.

2. Точка $D$ является противоположной вершиной для $A$ в шестиугольнике и лежит на оси $Ox$. Ее координаты: $D(-1, 0, 0)$.

3. Вершина $E$ получается поворотом вершины $A$ на угол $240^\circ$ вокруг центра $O$. Ее координаты:

$E(a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), 0) = E(1 \cdot (-\frac{1}{2}), 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Вершина $F_1$ находится в верхнем основании. Ее проекция на нижнее основание, точка $F$, получается поворотом $A$ на $300^\circ$. Координаты $F$:

$F(a \cdot \cos(300^\circ), a \cdot \sin(300^\circ), 0) = F(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точка $F_1$ имеет ту же аппликату и ординату, что и $F$, а ее аппликата (координата $z$) равна высоте призмы $h=1$. Координаты $F_1$: $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{DE} = E - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{DF_1} = F_1 - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DEF_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF_1}$:

$\vec{n} = \vec{DE} \times \vec{DF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + \frac{2\sqrt{3}}{4}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив $\vec{n}$ на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$, где $(A, B, C)$ – координаты нормального вектора. Получаем:

$\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + D_{plane} = 0$.

Для нахождения коэффициента $D_{plane}$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$\sqrt{3}(-1) + 1(0) - \sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = \sqrt{3}$.

Итак, уравнение плоскости $DEF_1$: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние $\rho$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $DEF_1$:

$\rho(A, (DEF_1)) = \frac{|\sqrt{3}(1) + 1(0) - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho(A, (DEF_1)) = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$ см.

1. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CC_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.

Ребро куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CC_1$, то есть $\rho(AB, CC_1)$.

Решение:

Прямые $AB$ и $CC_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$, не принадлежащей прямой $AB$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это отрезок, концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен обеим этим прямым.

Рассмотрим отрезок $BC$.

1. Точка $B$ принадлежит прямой $AB$, а точка $C$ принадлежит прямой $CC_1$. Следовательно, отрезок $BC$ соединяет данные прямые.

2. Грань $ABCD$ является квадратом, поэтому её смежные стороны перпендикулярны: $AB \perp BC$.

3. Грань $BCC_1B_1$ также является квадратом, поэтому её смежные стороны перпендикулярны: $CC_1 \perp BC$.

Таким образом, отрезок $BC$ перпендикулярен обеим прямым, $AB$ и $CC_1$, и соединяет их. Значит, $BC$ — их общий перпендикуляр.

Длина общего перпендикуляра $BC$ равна длине ребра куба. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Следовательно, искомое расстояние равно 1.

$\rho(AB, CC_1) = BC = 1$.

Ответ: 1.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребро куба $a=1$ (так как куб единичный).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

1. Сначала определим взаимное расположение прямых $AB$ и $C_1D_1$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $ABB_1A_1$ является квадратом, поэтому ребро $AB$ параллельно ребру $A_1B_1$.

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ также является квадратом, поэтому ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $D_1C_1$.

Из того, что $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$, по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $AB \parallel D_1C_1$. Прямая $D_1C_1$ и прямая $C_1D_1$ — это одна и та же прямая. Следовательно, прямые $AB$ и $C_1D_1$ параллельны.

2. Расстояние между параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим грань куба $ADD_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1.

Ребро $AB$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости: $AB \perp AD$ и $AB \perp AA_1$ (как ребра куба, исходящие из одной вершины).

Отрезок $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$ и целиком лежит в этой плоскости.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ADD_1A_1$. Следовательно, $AB \perp AD_1$.

Отрезок $AD_1$ соединяет точку $A$ на прямой $AB$ с точкой $D_1$ на прямой $C_1D_1$. Поскольку $AD_1$ перпендикулярен прямой $AB$, а прямая $C_1D_1$ параллельна $AB$, то $AD_1$ будет перпендикулярен и прямой $C_1D_1$.

Таким образом, $AD_1$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $C_1D_1$, и его длина равна искомому расстоянию.

3. Найдем длину диагонали $AD_1$ квадрата $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$ (с прямым углом при вершине $D$):

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AD_1 = \sqrt{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$ равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

3. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра $a = 1$ (так как куб единичный)

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$, которое обозначим как $\rho(AB_1, CD_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$

$B_1(1, 1, 1)$

$C(0, 1, 0)$

$D_1(0, 0, 1)$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Это расстояние можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим прямую $CD_1$. Она лежит в плоскости задней грани куба $CDD_1C_1$. Все точки этой плоскости имеют координату $x=0$. Следовательно, уравнение плоскости $(CDD_1)$ есть $x=0$.

Теперь проверим, параллельна ли прямая $AB_1$ этой плоскости. Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор перпендикулярен вектору нормали к плоскости.

Найдем направляющий вектор прямой $AB_1$:

$\vec{v}_{AB_1} = \vec{B_1} - \vec{A} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $x=0$ (или $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$) имеет координаты:

$\vec{n} = (1, 0, 0)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}_{AB_1}$ и $\vec{n}$:

$\vec{v}_{AB_1} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, прямая $AB_1$ параллельна плоскости $(CDD_1)$.

Следовательно, расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равно расстоянию от прямой $AB_1$ до плоскости $(CDD_1)$. Так как прямая параллельна плоскости, это расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $AB_1$ до плоскости $(CDD_1)$. Возьмем точку $A(1, 0, 0)$.

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $A(1, 0, 0)$ и плоскости $x=0$ получаем:

$\rho(A, (CDD_1)) = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = \frac{|1|}{1} = 1$

Таким образом, расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равно 1.

Альтернативное геометрическое рассуждение:

Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, целиком лежит в плоскости этой грани. Прямая $CD_1$ является диагональю задней грани $CDD_1C_1$ и лежит в плоскости этой грани. Плоскости передней и задней граней куба ($ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$) параллельны друг другу. Расстояние между этими параллельными плоскостями равно длине ребра куба, перпендикулярного им, например, ребра $AD$. Так как куб единичный, то $AD=1$. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Следовательно, искомое расстояние равно 1.

Ответ: 1.

4. В правильной треугольной призме $ABC{A_1}{B_1}{C_1}$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$: $\rho(AB, B_1C_1)$.

Решение:

Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния можно использовать несколько методов.

Способ 1: Нахождение общего перпендикуляра

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и концы которого лежат на этих прямых.

1. Рассмотрим боковое ребро $BB_1$. Один его конец, точка $B$, лежит на прямой $AB$. Другой конец, точка $B_1$, принадлежит прямой, содержащей отрезок $B_1C_1$.

2. Проверим, является ли отрезок $BB_1$ перпендикуляром к обеим прямым.

3. Перпендикулярность к прямой $AB$: Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная, ее боковая грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $BB_1 \perp AB$.

4. Перпендикулярность к прямой $B_1C_1$: Так как призма правильная, она является прямой призмой. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Поскольку прямая $B_1C_1$ лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $B_1C_1$ ($BB_1 \perp B_1C_1$).

5. Так как отрезок $BB_1$ соединяет прямые $AB$ и $B_1C_1$ и перпендикулярен им обеим, он является их общим перпендикуляром.

6. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние. По условию, все ребра призмы равны 1 см, значит, $|BB_1| = 1$ см.

Способ 2: Метод параллельной плоскости

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Найдем расстояние от прямой $AB$ до плоскости, содержащей прямую $B_1C_1$ и параллельной прямой $AB$.

2. Рассмотрим плоскость верхнего основания призмы $(A_1B_1C_1)$. Эта плоскость содержит прямую $B_1C_1$.

3. В правильной призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, и соответствующие стороны оснований также параллельны. В частности, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$ ($A_1B_1 || AB$).

4. Так как плоскость $(A_1B_1C_1)$ содержит прямую $A_1B_1$, которая параллельна прямой $AB$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$.

5. Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до параллельной ей плоскости $(A_1B_1C_1)$.

6. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Возьмем точку $B$ на прямой $AB$. Искомое расстояние равно расстоянию от точки $B$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

7. В правильной призме боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(A_1B_1C_1)$. Следовательно, длина отрезка $BB_1$ и есть расстояние от точки $B$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

8. По условию задачи, все ребра призмы равны 1 см. Значит, $\rho(AB, B_1C_1) = |BB_1| = 1$ см.

Способ 3: Метод координат

1. Введем прямоугольную систему координат. Расположим начало координат в точке $A(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AC$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

2. Определим координаты вершин. $A(0, 0, 0)$, $C(1, 0, 0)$, $A_1(0, 0, 1)$.

3. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1. Его высота равна $h = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Координаты точки $B$: $x_B = |AB|\cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, $y_B = |AB|\sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Координаты вершин верхнего основания: $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $C_1(1, 0, 1)$.

5. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и точками $M_1$, $M_2$ на них, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$.

6. Для прямой $AB$: точка $M_1 = A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v}_1 = \vec{AB} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

7. Для прямой $B_1C_1$: точка $M_2 = B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, направляющий вектор $\vec{v}_2 = \vec{B_1C_1} = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

8. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AB_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

9. Вычисляем векторное произведение: $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

10. Модуль векторного произведения: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{0^2+0^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

11. Вычисляем смешанное произведение: $(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) \cdot \vec{M_1M_2} = (0, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12. Модуль смешанного произведения: $|-\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

13. Находим расстояние: $d = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.

Дано:

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁

Ребро куба $a = 1$ (единичный куб)

Прямые $l_1 = AA_1$ и $l_2 = BD_1$

Найти:

Расстояние между прямыми AA₁ и BD₁, которое обозначим как $\rho(AA_1, BD_1)$.

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Также это расстояние можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BB_1D_1D$. Эта плоскость содержит прямую $BD_1$. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$, так как $ABB_1A_1$ — квадрат. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BD_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $(BB_1D_1D)$. Так как прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$, то расстояние от любой точки прямой $AA_1$ до этой плоскости будет одинаковым. Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $(BB_1D_1D)$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Плоскость основания $(ABCD)$ перпендикулярна плоскости диагонального сечения $(BB_1D_1D)$, так как ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $(ABCD)$. Их линия пересечения — прямая $BD$. Перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $(BB_1D_1D)$ будет лежать в плоскости $(ABCD)$ и будет перпендикулярен линии их пересечения $BD$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $BD$ в квадрате $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, отрезок $AO$ является перпендикуляром от точки $A$ к прямой $BD$.

Найдем длину диагонали $AC$ в квадрате $ABCD$ со стороной $a=1$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому искомое расстояние равно: $\rho(A, BD) = AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.