Страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Равносторонний треугольник со стороной 2 см вращается вокруг прямой, содержащей его высоту. Найдите объем тела вращения:

A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$;

B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см$^3$;

C) $\frac{\pi}{3}$ см$^3$;

D) $\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a = 2$ см.

Ось вращения — прямая, содержащая высоту треугольника.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело, полученное при вращении равностороннего треугольника вокруг его высоты, представляет собой конус. Высота конуса $H$ будет равна высоте треугольника, а радиус основания конуса $R$ будет равен половине стороны основания треугольника.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание пополам. Сторона треугольника $a = 2$ см. Таким образом, радиус основания конуса равен:

$R = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высоту $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного стороной треугольника $a$ (гипотенуза), радиусом $R$ (катет) и высотой $H$ (второй катет), по теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

$H^2 + 1^2 = 2^2$

$H^2 + 1 = 4$

$H^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объем конуса $V$.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R = 1$ см и $H = \sqrt{3}$ см:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Полученный результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

15. Разверткой боковой поверхности конуса служит круговой сектор радиусом 3 см и центральным углом 120°. Найдите объем конуса:

A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³;

B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{2\pi}{3}$ см³;

D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Дано:

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Радиус кругового сектора (является образующей конуса $L$) = $3$ см.

Центральный угол сектора $\alpha = 120^\circ$.

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $r$. Длина дуги сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равна длине окружности основания конуса.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле: $C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi L$.

Подставим известные значения:

$C_{дуги} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6\pi = 2\pi$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле: $C_{основания} = 2\pi r$.

Так как $C_{дуги} = C_{основания}$, получаем:

$2\pi r = 2\pi$

$r = 1$ см.

2. Найдем высоту конуса $h$. Образующая конуса $L$, его высота $h$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = r^2 + h^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{L^2 - r^2}$

Подставим известные значения $L=3$ см и $r=1$ см:

$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем конуса $V$:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту D).

Ответ: $ \frac{2\pi\sqrt{2}}{3} $ см³.

16. Конус описан около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 1 см. Найдите его объем:

A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³;

B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{\pi}{3}$ см³;

D) $\frac{2\pi}{3}$ см³.

Дано:

Конус описан около правильной шестиугольной пирамиды.
Сторона основания пирамиды, $a = 1$ см.
Высота пирамиды, $h_{пир} = 1$ см.

$a = 0.01$ м
$h_{пир} = 0.01$ м

Найти:

Объем конуса, $V_{кон}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Так как конус описан около правильной пирамиды, то их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса. Это означает, что высота конуса равна высоте пирамиды. $h = h_{пир} = 1$ см.

Основанием конуса является окружность, описанная около основания пирамиды, которое представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.

Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен стороне основания пирамиды $a$: $R = a = 1$ см.

Теперь подставим значения радиуса $R$ и высоты $h$ в формулу для объема конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot (1 \text{ см})$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{\pi}{3} \text{ см}^3$.

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $\frac{\pi}{3} \text{ см}^3$.

17. Найдите объем усеченного конуса, осевым сечением которого является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 2 см, а боковые стороны равны 2 см:

A) $\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

B) $\frac{5\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

C) $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$;

D) $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^3$.

Дано:

Осевое сечение усеченного конуса - равнобедренная трапеция.

Большее основание трапеции (диаметр большего основания конуса) $D = 4 \text{ см}$

Меньшее основание трапеции (диаметр меньшего основания конуса) $d = 2 \text{ см}$

Боковая сторона трапеции (образующая конуса) $l = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$D = 0.04 \text{ м}$

$d = 0.02 \text{ м}$

$l = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем усеченного конуса $V$.

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$,

где $h$ – высота конуса, $R$ и $r$ – радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

Радиусы оснований конуса равны половине диаметров:

Радиус большего основания: $R = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$.

Высоту конуса $h$ найдем из осевого сечения, которым является равнобедренная трапеция. Проведем в трапеции высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от трапеции прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований трапеции:

$k = \frac{D - d}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \text{ см}$.

Другой катет этого треугольника является высотой трапеции (и конуса) $h$, а гипотенуза - боковой стороной трапеции (и образующей конуса) $l$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + k^2$

$h^2 = l^2 - k^2$

$h = \sqrt{l^2 - k^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3}(2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3}(4 + 2 + 1) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3} \cdot 7 = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ см}^3$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi \text{ см}^3$.

18. Площадь поверхности шара равна 36 см². Найдите объем этого шара:

A) $24 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

B) $36 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

C) $48 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³;

D) $60 \frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.

Дано:

Площадь поверхности шара $S = 36 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$S = 36 \text{ см}^2 = 36 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Формула площади поверхности шара с радиусом $R$ имеет вид:

$S = 4\pi R^2$

Из этой формулы мы можем выразить радиус шара. Сначала найдем квадрат радиуса:

$R^2 = \frac{S}{4\pi}$

Подставим данное значение площади поверхности $S = 36 \text{ см}^2$ в формулу:

$R^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi} \text{ см}^2$

Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ см}$

Далее, для нахождения объема шара $V$ воспользуемся соответствующей формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3$

Выполним вычисления:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3^3}{(\sqrt{\pi})^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Сократим общие множители $\pi$ в числителе и знаменателе, а также числа 3 и 27:

$V = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{\pi}} = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \text{ см}^3$

Чтобы привести полученный ответ к виду, предложенному в вариантах, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{\pi}$:

$V = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \frac{36\sqrt{\pi}}{\pi} \text{ см}^3$

Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi} \text{ см}^3$.

19. Найдите объем шара, описанного около куба, ребро которого равно 2 см:

A) $\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$; B) $2\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$; C) $3\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$; D) $4\sqrt{3}\pi \text{ см}^3$.

Дано:

Ребро куба $a = 2$ см.

Найти:

Объем шара, описанного около куба ($V_{шара}$).

Решение:

Если шар описан около куба, то все вершины куба лежат на поверхности этого шара. В этом случае диаметр шара ($D$) равен главной диагонали куба ($d$).

1. Найдем главную диагональ куба. Формула для вычисления главной диагонали куба через его ребро $a$:

$d = a\sqrt{3}$

Подставим известное значение ребра $a = 2$ см:

$d = 2\sqrt{3}$ см

2. Диаметр описанного шара равен главной диагонали куба:

$D = d = 2\sqrt{3}$ см

3. Найдем радиус шара ($R$), который равен половине его диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см

4. Теперь вычислим объем шара по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение радиуса $R = \sqrt{3}$ см в формулу:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{4}{3}\pi (3\sqrt{3})$

Сократим тройки:

$V_{шара} = 4\pi\sqrt{3}$ см$^3$, что можно записать как $4\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $4\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

20. Чему равен объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 4 см, а радиус шара — 5 см:

A) $ \frac{52\pi}{3} $ см$^3$;

B) $ \frac{43\pi}{3} $ см$^3$;

C) $ \frac{32\pi}{3} $ см$^3$;

D) $ \frac{22\pi}{3} $ см$^3$?

Дано:

Радиус окружности основания шарового сегмента, $r = 4 \text{ см}$

Радиус шара, $R = 5 \text{ см}$

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Объем шарового сегмента, $V$.

Решение:

Объем шарового сегмента можно вычислить по формуле $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $h$ — высота сегмента, а $R$ — радиус шара. Для нахождения высоты $h$ сначала определим расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента. Рассмотрим осевое сечение шара, которое проходит через центр шара и перпендикулярно основанию сегмента. В этом сечении мы получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания сегмента $r$ и расстояние $d$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Выразим и найдем $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$.

Плоскость, отсекающая сегмент, делит шар на два сегмента: меньший и больший. Если в задаче не указано иное, по умолчанию рассматривается меньший сегмент. Высота меньшего сегмента $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием $d$:

$h = R - d = 5 - 3 = 2 \text{ см}$.

Теперь подставим найденные значения $h = 2 \text{ см}$ и $R = 5 \text{ см}$ в формулу для объема сегмента:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi \cdot 2^2 \cdot (5 - \frac{2}{3}) = 4\pi \cdot (\frac{15 - 2}{3}) = 4\pi \cdot \frac{13}{3} = \frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.

Этот результат совпадает с вариантом ответа A).

Проверим расчет, используя другую формулу для объема шарового сегмента, которая зависит от радиуса основания $r$ и высоты $h$:

$V = \frac{1}{6}\pi h(3r^2 + h^2)$

Подставим значения $h=2 \text{ см}$ и $r=4 \text{ см}$:

$V = \frac{1}{6}\pi \cdot 2 \cdot (3 \cdot 4^2 + 2^2) = \frac{\pi}{3} (3 \cdot 16 + 4) = \frac{\pi}{3} (48 + 4) = \frac{\pi}{3} \cdot 52 = \frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{52\pi}{3} \text{ см}^3$.