Страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как вычисляется объем шара?

2. Как вычисляется объем шарового сегмента?

Как вычисляется объем шара?

Объем шара – это величина, характеризующая пространство, занимаемое этим геометрическим телом. Шар определяется как множество всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не превышающем радиус $R$. Объем шара зависит только от его радиуса.

Формула для вычисления объема шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

где V – объем шара, R – его радиус, а $\pi$ – математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Для нахождения объема необходимо знать радиус шара, возвести его в куб (третью степень), умножить на число $\pi$ и на коэффициент $\frac{4}{3}$.

Ответ: Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

2. Как вычисляется объем шарового сегмента?

Шаровой сегмент – это часть шара, которая отсекается от него плоскостью. Сегмент характеризуется высотой $h$ и радиусом основания $a$. Основание сегмента – это круг, образованный сечением шара плоскостью.

Объем шарового сегмента можно вычислить несколькими способами в зависимости от известных параметров.

1. Если известны радиус шара $R$ и высота сегмента $h$, используется формула:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

2. Если известны радиус основания сегмента $a$ и его высота $h$, используется формула:

$V = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)$

В обеих формулах V – это объем сегмента, а $\pi$ – константа пи. Выбор формулы зависит от данных задачи.

Ответ: Объем шарового сегмента вычисляется по одной из формул: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ – радиус шара и $h$ – высота сегмента; или $V = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)$, где $a$ – радиус основания сегмента и $h$ – его высота.

28.1. Найдите объем шара, диаметр которого равен 6 см.

Дано:

Диаметр шара $d = 6$ см.

$d = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле с использованием его радиуса ($R$):

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Радиус шара составляет половину его диаметра. Найдем радиус:

$R = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, когда мы знаем радиус, можем подставить его значение в формулу для вычисления объема:

$V = \frac{4}{3}\pi (3 \text{ см})^3$

Возведем радиус в куб:

$3^3 = 27$

Подставим это значение обратно в формулу:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \text{ см}^3$

Сократим дробь и выполним умножение:

$V = 4 \pi \cdot \frac{27}{3} \text{ см}^3$

$V = 4 \pi \cdot 9 \text{ см}^3$

$V = 36\pi \text{ см}^3$

Ответ: объем шара равен $36\pi \text{ см}^3$.

28.2. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить к: а) 3 раза; б) 4 раза?

Дано:

$V_1$ — начальный объем шара с радиусом $R_1$.

$V_2$ — новый объем шара с радиусом $R_2$.

Случай а): $R_2 = 3 R_1$.

Случай б): $R_2 = 4 R_1$.

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$ — отношение нового объема к начальному для каждого случая.

Решение:

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле в зависимости от его радиуса ($R$): $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Соответственно, начальный объем шара равен $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$.

а)

В этом случае радиус увеличивают в 3 раза, то есть $R_2 = 3R_1$. Подставим новый радиус в формулу для объема, чтобы найти новый объем $V_2$: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (3R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (27 R_1^3)$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 27 R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3}$

Сокращаем общие множители $\frac{4}{3}$, $\pi$ и $R_1^3$: $\frac{V_2}{V_1} = 27$

Ответ: объем увеличится в 27 раз.

б)

В этом случае радиус увеличивают в 4 раза, то есть $R_2 = 4R_1$. Подставим новый радиус в формулу для объема: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (4R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot (64 R_1^3)$

Найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi \cdot 64 R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3}$

Сокращаем общие множители: $\frac{V_2}{V_1} = 64$

Ответ: объем увеличится в 64 раза.

28.3. Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см.
Определите радиус шара, объем которого
равен сумме их объемов.

Дано:

Радиус первого шара, $r_1 = 3$ см.
Радиус второго шара, $r_2 = 4$ см.
Радиус третьего шара, $r_3 = 5$ см.

$r_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$r_3 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус нового шара, $R$, объем которого равен сумме объемов трех данных шаров.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – это радиус шара.

Обозначим объемы трех шаров как $V_1$, $V_2$ и $V_3$, а их радиусы как $r_1$, $r_2$ и $r_3$. Объем нового шара обозначим как $V$, а его радиус как $R$.

По условию задачи, объем нового шара равен сумме объемов трех исходных шаров:

$V = V_1 + V_2 + V_3$

Подставим формулы объемов в это равенство:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в правой части уравнения:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$

Сократим обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$:

$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$

Теперь подставим числовые значения радиусов $r_1 = 3$ см, $r_2 = 4$ см и $r_3 = 5$ см:

$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$

Вычислим значения кубов:

$R^3 = 27 + 64 + 125$

Сложим полученные значения:

$R^3 = 216$

Чтобы найти радиус $R$, необходимо извлечь кубический корень из 216:

$R = \sqrt[3]{216} = 6$ см.

Ответ: радиус шара, объем которого равен сумме их объемов, составляет 6 см.

28.4. Сколько нужно взять шаров радиусом 2 см,

чтобы сумма их объемов равнялась объему

шара радиусом 6 см?

Дано:

Радиус малых шаров, $r_1 = 2 \text{ см}$

Радиус большого шара, $R = 6 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$r_1 = 0.02 \text{ м}$

$R = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Количество малых шаров $N$.

Решение:

По условию задачи, сумма объемов $N$ малых шаров должна быть равна объему одного большого шара. Запишем это в виде уравнения:

$N \cdot V_1 = V_2$

где $V_1$ — объем одного малого шара, а $V_2$ — объем большого шара.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Подставим эту формулу в наше уравнение для объемов малого и большого шаров:

$N \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = \frac{4}{3}\pi R^3$

Сократим одинаковый множитель $\frac{4}{3}\pi$ в обеих частях уравнения:

$N \cdot r_1^3 = R^3$

Теперь выразим искомое количество шаров $N$:

$N = \frac{R^3}{r_1^3} = \left(\frac{R}{r_1}\right)^3$

Подставим числовые значения радиусов:

$N = \left(\frac{6 \text{ см}}{2 \text{ см}}\right)^3 = 3^3 = 27$

Ответ: необходимо взять 27 шаров.

28.5.

Дано:

Ребро куба $a = 1$ см.

В системе СИ: $a = 0.01$ м.

Найти:

Объем шара $V$.

Решение:

Шар, вписанный в куб, касается центров всех его шести граней. Это означает, что расстояние между центрами противоположных граней куба равно диаметру вписанного шара $d$. Это расстояние также равно длине ребра куба $a$.

Следовательно, диаметр шара равен ребру куба:

$d = a = 1$ см.

Радиус шара $r$ равен половине его диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0.5$ см.

Объем шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Подставим значение радиуса в формулу и вычислим объем:

$V = \frac{4}{3}\pi (0.5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0.125 \text{ см}^3 = \frac{4 \cdot 0.125}{3}\pi \text{ см}^3 = \frac{0.5}{3}\pi \text{ см}^3$

Представим $0.5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ для упрощения:

$V = \frac{1/2}{3}\pi \text{ см}^3 = \frac{1}{2 \cdot 3}\pi \text{ см}^3 = \frac{\pi}{6} \text{ см}^3$

Ответ: объем шара равен $\frac{\pi}{6} \text{ см}^3$.

28.6. Найдите объем шара, вписанного в цилиндр (рис. 28.4), высота которого равна 2 см.

Рис. 28.4

Дано:

Шар, вписанный в цилиндр

Высота цилиндра $H = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$H = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Объем шара $V_{шара}$

Решение:

Так как шар вписан в цилиндр, его диаметр $D_{шара}$ равен высоте цилиндра $H$. Также радиус шара $R_{шара}$ равен радиусу основания цилиндра.

Из условия следует, что диаметр вписанного шара равен высоте цилиндра:

$D_{шара} = H = 2 \text{ см}$

Радиус шара равен половине его диаметра:

$R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R_{шара}^3$

Подставим найденное значение радиуса в формулу объема:

$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (1 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{4}{3} \pi \text{ см}^3$

Ответ: $\frac{4}{3}\pi \text{ см}^3$.

28.7. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

Дано:

Расстояние от центра шара до плоскости сечения, $d = 8$ см.

Радиус сечения, $r = 6$ см.

Перевод в систему СИ:

$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$r = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем шара, $V$.

Решение:

Для нахождения объема шара необходимо знать его радиус $R$. Формула объема шара:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ связаны соотношением, которое вытекает из теоремы Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус шара $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами.

Таким образом, мы можем записать:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения в сантиметрах:

$R^2 = 8^2 + 6^2$

$R^2 = 64 + 36$

$R^2 = 100$

$R = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$

Теперь, когда мы нашли радиус шара, мы можем вычислить его объем:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 = \frac{4000}{3}\pi \text{ см}^3$

Ответ: $ \frac{4000}{3}\pi \text{ см}^3 $.

28.8. Найдите объем шара, описанного около куба, ребро которого равно 1 см.

Дано:

Ребро куба, $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Объем шара, $V$.

Решение:

Если шар описан около куба, это означает, что все восемь вершин куба касаются поверхности шара. В этом случае центр шара совпадает с центром куба, а диаметр шара $D$ равен главной диагонали куба $d$.

Найдем длину главной диагонали куба. Главная диагональ $d$ куба с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Подставим значение ребра куба $a = 1$ см:

$d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Так как диаметр шара равен главной диагонали куба, $D = d = \sqrt{3}$ см.

Радиус шара $R$ равен половине его диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь найдем объем шара по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим в формулу найденное значение радиуса:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$.

Выполним вычисления:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Сократим числитель и знаменатель:

$V = \frac{4 \cdot \pi \cdot 3\sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{12\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

28.9. Найдите объем шара, описанного около цилиндра (рис. 28.5), радиус основания и высота которого равны 1 см.

Рис. 28.5

Дано:
Цилиндр, вписанный в шар.
Радиус основания цилиндра $r_{цил} = 1$ см.
Высота цилиндра $h_{цил} = 1$ см.

$r_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:
Объем шара $V_{шара}$ - ?

Решение:
Для нахождения объема шара необходимо знать его радиус $R$. Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением будет прямоугольник (от цилиндра), вписанный в окружность (от шара). Диагональ этого прямоугольника является диаметром описанного шара.
Связь между радиусом шара $R$, радиусом основания цилиндра $r_{цил}$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h_{цил}}{2}$ можно найти с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания цилиндра и половина его высоты, а гипотенузой — радиус шара.
$R^2 = r_{цил}^2 + (\frac{h_{цил}}{2})^2$
Подставим известные значения:
$R^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
Тогда радиус шара равен:
$R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.
Теперь можем вычислить объем шара:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{5}}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{5})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{5\sqrt{5}}{8}$
$V_{шара} = \frac{4 \cdot 5\sqrt{5}}{3 \cdot 8}\pi = \frac{20\sqrt{5}}{24}\pi = \frac{5\sqrt{5}}{6}\pi$ см³.

Ответ: $ \frac{5\pi\sqrt{5}}{6}$ см³.

и высота которого равна 1 см.

28.10. Найдите объем шара, вписанного в

правильную треугольную призму, сторона

основания которой равна 1 см.

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания $a = 1$ см

$a = 0.01$ м

Найти:

Объем вписанного шара $V$

Решение:

Для того чтобы в правильную призму можно было вписать шар, необходимо, чтобы ее высота была равна диаметру окружности, вписанной в основание. Шар, вписанный в правильную треугольную призму, касается обоих оснований призмы и всех ее боковых граней. Центр шара будет находиться на середине высоты призмы, а его проекция на основание совпадет с центром вписанной в основание окружности.

Следовательно, радиус вписанного шара $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим в формулу значение стороны основания $a = 1$ см:

$R = r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см

Теперь, зная радиус шара, можем найти его объем по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное значение радиуса $R$ в эту формулу:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{6^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{216}$

Сократим множитель 3 в числителе и знаменателе:

$V = 4\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{216} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{216}$

Сократим полученную дробь на 4:

$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{54}$ см$^3$

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{3}}{54}$ см$^3$.

28.11. Площади поверхностей двух шаров относятся как $m : n$. Как относятся их объемы?

Дано:

Пусть есть два шара.

Радиусы шаров: $R_1$ и $R_2$.

Площади поверхностей шаров: $S_1$ и $S_2$.

Объемы шаров: $V_1$ и $V_2$.

Отношение площадей поверхностей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{m}{n}$.

Найти:

Отношение объемов шаров: $\frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Площадь поверхности шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$.

Объем шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Запишем отношение площадей поверхностей двух шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$.

По условию задачи, это отношение равно $\frac{m}{n}$:

$\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{m}{n}$.

Отсюда найдем отношение радиусов шаров, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m}{n}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$.

Теперь найдем отношение объемов этих двух шаров:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.

Подставим в это выражение найденное ранее отношение радиусов:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}\right)^3 = \frac{(\sqrt{m})^3}{(\sqrt{n})^3} = \frac{m\sqrt{m}}{n\sqrt{n}}$.

Следовательно, объемы шаров относятся как $m\sqrt{m} : n\sqrt{n}$.

Ответ: $m\sqrt{m} : n\sqrt{n}$.

28.12. Найдите формулу объема шарового кольца — фигуры, заключенной между поверхностями двух шаров (рис. 28.6) радиусов $R_1$ и $R_2$ ($R_1 > R_2$), имеющих общий центр.

Рис. 28.6

Дано:

Два концентрических шара (с общим центром).
Радиус большего шара: $R_1$
Радиус меньшего шара: $R_2$
Причем $R_1 > R_2$.

Найти:

Формулу для вычисления объема шарового кольца $V$.

Решение:

Шаровое кольцо представляет собой фигуру, заключенную между поверхностями двух концентрических шаров. Чтобы найти объем этой фигуры, нужно из объема большего шара вычесть объем меньшего шара.

Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — это радиус шара.

Объем большего шара ($V_1$) с радиусом $R_1$: $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Объем меньшего шара ($V_2$) с радиусом $R_2$: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Объем шарового кольца $V$ равен разности объемов $V_1$ и $V_2$: $V = V_1 - V_2 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 - \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Для получения итоговой формулы вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки: $V = \frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)$

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)$.