Страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.9. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения — $90^\circ$. Найдите объем конуса.

Дано:

Диаметр основания конуса $d = 12$ см

Угол при вершине осевого сечения $\alpha = 90^\circ$

$d = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса $V$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$

2. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, у которого основание равно диаметру основания конуса $d$, а угол при вершине равен $\alpha = 90^\circ$. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $H$.

Эта высота делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катетами являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$.

Высота $H$ также является биссектрисой угла при вершине осевого сечения, поэтому угол между высотой $H$ и образующей конуса в этом прямоугольном треугольнике равен $\frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то третий угол (при основании) равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, полученный прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:

$H = R$

Поскольку мы нашли, что $R = 6$ см, то высота конуса также равна $H = 6$ см.

3. Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см}$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 72\pi \text{ см}^3$

Ответ: $72\pi \text{ см}^3$.

27.10. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площадью $9 \text{ см}^2$. Найдите объем конуса.

Дано:

Конус, у которого осевое сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Площадь осевого сечения $S_{сеч} = 9 \text{ см}^2$.

$S_{сеч} = 9 \text{ см}^2 = 9 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $D$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$. Высота этого треугольника, проведенная к основанию, является высотой конуса $H$.

Согласно условию, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямой угол в таком треугольнике может быть только при вершине конуса (между образующими), поскольку углы при основании равны. Таким образом, образующие $l$ являются катетами этого прямоугольного треугольника, а диаметр основания $D$ — его гипотенузой.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. В нашем случае:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{1}{2}l^2$

Также площадь этого треугольника можно выразить через основание (диаметр $D$) и высоту $H$:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} D \cdot H$

Поскольку $D = 2R$ (где $R$ — радиус основания конуса), то:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} (2R) \cdot H = R \cdot H$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем случае высота конуса $H$ является высотой осевого сечения, проведенной к гипотенузе $D$. Следовательно:

$H = \frac{D}{2} = R$

Теперь подставим соотношение $H=R$ в формулу площади $S_{сеч} = R \cdot H$:

$S_{сеч} = R \cdot R = R^2$

Из условия мы знаем, что $S_{сеч} = 9 \text{ см}^2$. Значит:

$R^2 = 9 \text{ см}^2$

$R = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

Так как $H = R$, то высота конуса также равна 3 см:

$H = 3 \text{ см}$

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R$ и $H$:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot (3 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 9\pi \text{ см}^3$

Ответ: $9\pi \text{ см}^3$.

27.11. Равносторонний треугольник со стороной 1 см вращается вокруг прямой, содержащей его высоту. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a = 1 \text{ см}$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

При вращении равностороннего треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту, образуется тело вращения, которое представляет собой конус.

Высота этого конуса $h$ равна высоте равностороннего треугольника, а радиус основания конуса $r$ равен половине стороны треугольника, так как в равностороннем треугольнике высота является также и медианой.

1. Найдем радиус основания конуса $r$:
$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ см}$.

2. Найдем высоту конуса $h$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значение стороны $a = 1 \text{ см}$:
$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

3. Объем конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

4. Подставим найденные значения радиуса $r$ и высоты $h$ в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Выполним вычисления:
$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{24} \text{ см}^3$.

27.12. Два конуса получены от вращения неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг каждого из катетов. Равны ли объемы этих конусов?

Решение

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длины его катетов как $a$ и $b$. Поскольку по условию треугольник является неравнобедренным, его катеты не равны друг другу, то есть $a \ne b$.

1. Вращение треугольника вокруг катета $a$
При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. Если осью вращения является катет $a$, то он будет высотой конуса $h_1 = a$. Второй катет $b$ будет радиусом основания конуса $r_1 = b$.Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.Подставив наши значения, получим объем первого конуса $V_1$:$V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$

2. Вращение треугольника вокруг катета $b$
Если осью вращения является катет $b$, то он будет высотой второго конуса $h_2 = b$. Катет $a$ в этом случае будет радиусом основания $r_2 = a$.Объем второго конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$

3. Сравнение объемов конусов
Теперь сравним полученные объемы $V_1$ и $V_2$. Для того чтобы объемы были равны, должно выполняться равенство $V_1 = V_2$:$\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$Поскольку $a$ и $b$ - это длины катетов, они являются положительными числами ($a>0$, $b>0$). Мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{3}\pi ab$, так как это выражение не равно нулю:$\frac{\frac{1}{3}\pi b^2 a}{\frac{1}{3}\pi ab} = \frac{\frac{1}{3}\pi a^2 b}{\frac{1}{3}\pi ab}$$b = a$Таким образом, мы видим, что объемы конусов равны только в том случае, если равны катеты треугольника ($a=b$), то есть когда треугольник является равнобедренным.Однако по условию задачи треугольник неравнобедренный, а значит $a \ne b$.Следовательно, объемы полученных конусов не равны.

Ответ: Нет, объемы этих конусов не равны.

27.13. Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 2 см и высотой 6 см (рис. 27.5). Найдите его объем.

Рис. 27.5

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания, $a = 2$ см
Высота пирамиды, $H = 6$ см
В пирамиду вписан конус

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м
$H = 0.06$ м

Найти:

Объем конуса, $V_{кон}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ , где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота.

Поскольку конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду, их вершины совпадают, а высота конуса $h$ равна высоте пирамиды $H$. Следовательно, $h = H = 6$ см.

Основание конуса представляет собой круг, вписанный в основание пирамиды. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Сторона этого квадрата $a = 2$ см.

Радиус круга, вписанного в квадрат со стороной $a$, равен половине этой стороны. Таким образом, радиус основания конуса $r$ равен: $r = \frac{a}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

Теперь мы можем вычислить объем конуса, подставив найденные значения $r$ и $h$ в формулу: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (1 \text{ см})^2 \cdot (6 \text{ см})$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = \frac{6\pi}{3} \text{ см}^3 = 2\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $2\pi \text{ см}^3$.

27.14. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 1 см и высотой 2 см (рис. 27.6). Найдите его объем.

Рис. 27.6

Дано:

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды.

Сторона основания пирамиды, $a = 1$ см.

Высота пирамиды, $h_{пир} = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{пир} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса, $V_{кон}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Поскольку конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а высота конуса равна высоте пирамиды.

$H = h_{пир} = 2$ см.

Основание конуса – это круг, который описан около основания пирамиды. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Таким образом, радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около квадрата со стороной $a=1$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$. Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значение стороны квадрата $a=1$ см:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания конуса:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема конуса. Подставим значения $R$ и $H$ в формулу объема:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{4}\right) \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 2$

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см³.

Ответ: $V_{кон} = \frac{\pi}{3}$ см³.

27.15. Объем конуса равен 1 $см^3$. Его высота разделена на три равные части, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости. Найдите объем средней части конуса.

Дано:

Объем конуса $V = 1 \text{ см}^3$

Высота конуса разделена на 3 равные части.

Перевод в СИ: $V = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем средней части конуса $V_{сред}$.

Решение:

Пусть полный объем исходного конуса равен $V$, его высота $H$, а радиус основания $R$. По условию задачи $V = 1 \text{ см}^3$.

Высота конуса разделена на три равные части. Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, которые подобны исходному. Обозначим их объемы $V_1$ (самый маленький, верхний конус) и $V_2$ (конус, состоящий из верхней и средней частей).

Высота конуса с объемом $V_1$ равна $h_1 = \frac{1}{3}H$.

Высота конуса с объемом $V_2$ равна $h_2 = \frac{2}{3}H$.

Согласно свойству подобных тел, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия (который, в свою очередь, равен отношению их соответственных линейных размеров, например, высот).

Найдем объем $V_1$. Коэффициент подобия малого конуса и исходного конуса равен:

$k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{\frac{1}{3}H}{H} = \frac{1}{3}$

Тогда отношение их объемов:

$\frac{V_1}{V} = k_1^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Следовательно, $V_1 = \frac{1}{27}V$.

Теперь найдем объем $V_2$. Коэффициент подобия этого конуса и исходного равен:

$k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{\frac{2}{3}H}{H} = \frac{2}{3}$

Отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V} = k_2^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Следовательно, $V_2 = \frac{8}{27}V$.

Объем средней части конуса $V_{сред}$ является объемом усеченного конуса и может быть найден как разность объемов $V_2$ и $V_1$.

$V_{сред} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$

Подставим заданное значение полного объема $V = 1 \text{ см}^3$:

$V_{сред} = \frac{7}{27} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{7}{27} \text{ см}^3$

Ответ: объем средней части конуса равен $\frac{7}{27} \text{ см}^3$.

27.16. Воду, заполняющую всю коническую колбу высотой 12 см, перелили в цилиндрический сосуд, радиус основания которого равен радиусу окружности конической колбы (рис. 27.7). На какой высоте от основания цилиндрического сосуда будет находиться поверхность воды?

Рис. 27.7

Дано:

Высота конической колбы $H_{конус} = 12$ см
Радиус основания цилиндрического сосуда равен радиусу основания конической колбы: $R_{цилиндр} = R_{конус} = R$

$H_{конус} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Высоту воды в цилиндрическом сосуде $H_{вода}$.

Решение:

Объем воды, которую перелили из конической колбы, равен объему самой колбы, так как она была заполнена полностью. Объем конуса ($V_{конус}$) вычисляется по формуле:
$V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R_{конус}^2 H_{конус}$

Когда воду перелили в цилиндрический сосуд, она заняла в нем объем ($V_{вода}$), который рассчитывается по формуле объема цилиндра:
$V_{вода} = \pi R_{цилиндр}^2 H_{вода}$
где $H_{вода}$ — искомая высота уровня воды в цилиндрическом сосуде.

Поскольку объем жидкости при переливании не изменился, мы можем приравнять объемы: $V_{конус} = V_{вода}$.
По условию задачи, радиусы оснований сосудов также равны: $R_{конус} = R_{цилиндр}$. Обозначим этот радиус как $R$.
Подставим формулы объемов в равенство:
$\frac{1}{3} \pi R^2 H_{конус} = \pi R^2 H_{вода}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\pi R^2$ (поскольку радиус основания $R$ не равен нулю):
$\frac{1}{3} H_{конус} = H_{вода}$

Теперь подставим известное значение высоты конуса, чтобы найти высоту воды в цилиндре:
$H_{вода} = \frac{1}{3} \cdot H_{конус} = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.