Номер 27.12, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.12. Два конуса получены от вращения неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг каждого из катетов. Равны ли объемы этих конусов?

Решение

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длины его катетов как $a$ и $b$. Поскольку по условию треугольник является неравнобедренным, его катеты не равны друг другу, то есть $a \ne b$.

1. Вращение треугольника вокруг катета $a$
При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. Если осью вращения является катет $a$, то он будет высотой конуса $h_1 = a$. Второй катет $b$ будет радиусом основания конуса $r_1 = b$.Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.Подставив наши значения, получим объем первого конуса $V_1$:$V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$

2. Вращение треугольника вокруг катета $b$
Если осью вращения является катет $b$, то он будет высотой второго конуса $h_2 = b$. Катет $a$ в этом случае будет радиусом основания $r_2 = a$.Объем второго конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$

3. Сравнение объемов конусов
Теперь сравним полученные объемы $V_1$ и $V_2$. Для того чтобы объемы были равны, должно выполняться равенство $V_1 = V_2$:$\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$Поскольку $a$ и $b$ - это длины катетов, они являются положительными числами ($a>0$, $b>0$). Мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{3}\pi ab$, так как это выражение не равно нулю:$\frac{\frac{1}{3}\pi b^2 a}{\frac{1}{3}\pi ab} = \frac{\frac{1}{3}\pi a^2 b}{\frac{1}{3}\pi ab}$$b = a$Таким образом, мы видим, что объемы конусов равны только в том случае, если равны катеты треугольника ($a=b$), то есть когда треугольник является равнобедренным.Однако по условию задачи треугольник неравнобедренный, а значит $a \ne b$.Следовательно, объемы полученных конусов не равны.

Ответ: Нет, объемы этих конусов не равны.