Номер 27.16, страница 157 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.16. Воду, заполняющую всю коническую колбу высотой 12 см, перелили в цилиндрический сосуд, радиус основания которого равен радиусу окружности конической колбы (рис. 27.7). На какой высоте от основания цилиндрического сосуда будет находиться поверхность воды?

Рис. 27.7

Дано:

Высота конической колбы $H_{конус} = 12$ см
Радиус основания цилиндрического сосуда равен радиусу основания конической колбы: $R_{цилиндр} = R_{конус} = R$

$H_{конус} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Высоту воды в цилиндрическом сосуде $H_{вода}$.

Решение:

Объем воды, которую перелили из конической колбы, равен объему самой колбы, так как она была заполнена полностью. Объем конуса ($V_{конус}$) вычисляется по формуле:
$V_{конус} = \frac{1}{3} \pi R_{конус}^2 H_{конус}$

Когда воду перелили в цилиндрический сосуд, она заняла в нем объем ($V_{вода}$), который рассчитывается по формуле объема цилиндра:
$V_{вода} = \pi R_{цилиндр}^2 H_{вода}$
где $H_{вода}$ — искомая высота уровня воды в цилиндрическом сосуде.

Поскольку объем жидкости при переливании не изменился, мы можем приравнять объемы: $V_{конус} = V_{вода}$.
По условию задачи, радиусы оснований сосудов также равны: $R_{конус} = R_{цилиндр}$. Обозначим этот радиус как $R$.
Подставим формулы объемов в равенство:
$\frac{1}{3} \pi R^2 H_{конус} = \pi R^2 H_{вода}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\pi R^2$ (поскольку радиус основания $R$ не равен нулю):
$\frac{1}{3} H_{конус} = H_{вода}$

Теперь подставим известное значение высоты конуса, чтобы найти высоту воды в цилиндре:
$H_{вода} = \frac{1}{3} \cdot H_{конус} = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.