Номер 27.22, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.22. Единичный квадрат вращается вокруг прямой, содержащей его диагональ. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Единичный квадрат, сторона $a = 1$.
Ось вращения — прямая, содержащая диагональ квадрата.

Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении квадрата вокруг своей диагонали, представляет собой объединение двух одинаковых конусов с общим основанием.

Сначала найдем длину диагонали $d$ единичного квадрата (со стороной $a=1$) по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Тело вращения состоит из двух конусов. Высота каждого конуса $h$ равна половине длины диагонали, вокруг которой происходит вращение:
$h = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Радиус общего основания конусов $r$ равен расстоянию от другой диагонали до вершины, то есть половине длины второй диагонали. Так как диагонали равны, радиус также равен половине длины диагонали:
$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем одного конуса вычисляется по формуле:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Подставим значения $r$ и $h$:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$.

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух таких конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.