Номер 27.26, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.26. Равносторонний треугольник со стороной равной 2 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину и параллельной высоте треугольника. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равносторонний треугольник

Сторона $a = 2$ см

Ось вращения проходит через вершину треугольника и параллельна его высоте.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр масс (центроид).

Формула для вычисления объема: $V = 2\pi \cdot R \cdot S$, где $S$ – площадь вращаемой фигуры, а $R$ – расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь равностороннего треугольника $S$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставляя значение $a = 2$ см, получаем:

$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Найдем расстояние $R$ от центроида треугольника до оси вращения.

Пусть дан треугольник $ABC$ со стороной $a=2$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина стороны $AC$.

Ось вращения по условию проходит через одну из вершин, например, через вершину $C$, и параллельна высоте $BH$.

Центроид (центр масс) равностороннего треугольника находится в точке пересечения его медиан (которые совпадают с высотами). Эта точка лежит на высоте $BH$.

Расстояние $R$ от центроида до оси вращения — это перпендикулярное расстояние от точки на высоте $BH$ до прямой, проходящей через $C$ параллельно $BH$. Это расстояние равно длине отрезка $HC$.

Поскольку $H$ — середина $AC$, то:

$R = HC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Вычислим объем тела вращения $V$.

Теперь подставим найденные значения площади $S = \sqrt{3}$ см² и расстояния $R = 1$ см в формулу Паппа-Гульдина:

$V = 2\pi \cdot R \cdot S = 2\pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $2\pi\sqrt{3}$ см³.