Номер 27.20, страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 27.8

27.20. Найдите объем юрты (рис. 27.8) в форме цилиндра с поставленным на него усеченным конусом, диаметр основания цилиндра равен 5 м, диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, а высоты цилиндра и усеченного конуса равны 2 м.

Общий объем юрты $V_{юрта}$ складывается из объема ее цилиндрической части $V_{цил}$ и объема верхней части в форме усеченного конуса $V_{к.ус.}$.

$V_{юрта} = V_{цил} + V_{к.ус.}$

Дано:
Форма юрты - цилиндр с усеченным конусом наверху.
Диаметр основания цилиндра: $D_{цил} = 5$ м
Диаметры оснований усеченного конуса: $D_{к} = 5$ м и $d_{к} = 1$ м
Высота цилиндра: $h_{цил} = 2$ м
Высота усеченного конуса: $h_{к} = 2$ м

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:
Объем юрты $V_{юрта}$.

Решение:

1. Найдем объем цилиндрической части юрты ($V_{цил}$).
Формула для объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R_{цил}^2 h_{цил}$, где $R_{цил}$ - радиус основания, а $h_{цил}$ - высота.
Радиус основания цилиндра равен половине его диаметра:
$R_{цил} = \frac{D_{цил}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.
Подставим значения в формулу:
$V_{цил} = \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 2 = \pi \cdot 6.25 \cdot 2 = 12.5\pi$ м³.

2. Найдем объем верхней части юрты в форме усеченного конуса ($V_{к.ус.}$).
Формула для объема усеченного конуса: $V_{к.ус.} = \frac{1}{3} \pi h_{к} (R_{к}^2 + R_{к}r_{к} + r_{к}^2)$, где $h_{к}$ - высота, $R_{к}$ - радиус большего основания, $r_{к}$ - радиус меньшего основания.
Радиусы оснований конуса равны половинам их диаметров:
Радиус большего основания: $R_{к} = \frac{D_{к}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.
Радиус меньшего основания: $r_{к} = \frac{d_{к}}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ м.
Подставим значения в формулу:
$V_{к.ус.} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \cdot (2.5^2 + 2.5 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{2}{3} \pi \cdot (6.25 + 1.25 + 0.25) = \frac{2}{3} \pi \cdot 7.75 = \frac{15.5}{3}\pi$ м³.

3. Найдем общий объем юрты.
Сложим объемы цилиндра и усеченного конуса:
$V_{юрта} = V_{цил} + V_{к.ус.} = 12.5\pi + \frac{15.5}{3}\pi$
Приведем к общему знаменателю:
$V_{юрта} = \frac{12.5 \cdot 3}{3}\pi + \frac{15.5}{3}\pi = \frac{37.5}{3}\pi + \frac{15.5}{3}\pi = \frac{37.5 + 15.5}{3}\pi = \frac{53}{3}\pi$ м³.
Приближенное значение, если принять $\pi \approx 3.14$:
$V_{юрта} \approx \frac{53}{3} \cdot 3.14 \approx 17.67 \cdot 3.14 \approx 55.48$ м³.

Ответ: Объем юрты равен $\frac{53}{3}\pi$ м³.