Страница 158 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.17. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см, образующая равна 5 см. Найдите объем этого усеченного конуса.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R = 6$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r = 2$ см

Образующая усеченного конуса $l = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 0.06$ м

$r = 0.02$ м

$l = 0.05$ м

Найти:

Объем усеченного конуса $V$.

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $h$ – высота конуса, $R$ и $r$ – радиусы его оснований.

Для вычисления объема нам необходимо найти высоту $h$. Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $(R-r)$. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, где боковая сторона равна образующей $l$.

Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим известные значения в сантиметрах:

$h = \sqrt{5^2 - (6-2)^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь, когда высота известна, мы можем вычислить объем усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (6^2 + 6 \cdot 2 + 2^2)$

Упростим выражение:

$V = \pi \cdot (36 + 12 + 4)$

$V = \pi \cdot 52 = 52\pi$ см$^3$.

Ответ: $52\pi$ см$^3$.

27.18. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 6 см, а высота — 3 см, вращается относительно оси, проходящей через середины оснований. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равнобедренная трапеция

Меньшее основание $a = 4$ см

Большее основание $b = 6$ см

Высота $h = 3$ см

Ось вращения проходит через середины оснований.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг оси, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое представляет собой усеченный конус. Ось вращения трапеции является высотой этого усеченного конуса.

Высота усеченного конуса $H$ равна высоте трапеции $h$:

$H = h = 3$ см.

Радиус большего основания усеченного конуса $R$ равен половине длины большего основания трапеции $b$:

$R = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции $a$:

$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$.

Подставим известные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (3^2 + 3 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \pi \cdot (9 + 6 + 4)$

$V = \pi \cdot 19 = 19\pi$ см$^3$.

Ответ: $19\pi$ см$^3$.

27.19. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух конусов, при которых эти конусы подобны. Как относятся объемы этих конусов?

Решение

Два конуса называются подобными, если один может быть получен из другого преобразованием подобия (гомотетией). Это означает, что все их соответствующие линейные размеры (радиусы оснований, высоты, образующие) пропорциональны.

Рассмотрим два конуса. Пусть у первого конуса радиус основания $r_1$ и образующая $l_1$. У второго конуса соответствующие параметры равны $r_2$ и $l_2$.

Подобие двух конусов эквивалентно подобию их осевых сечений. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а боковые стороны равны образующей ($l$).

Для того чтобы два равнобедренных треугольника (осевые сечения) были подобны, необходимо и достаточно, чтобы отношение их оснований было равно отношению их боковых сторон: $ \frac{2r_1}{2r_2} = \frac{l_1}{l_2} $

Упрощая это выражение, мы получаем условие подобия конусов, выраженное через радиусы оснований и образующие: $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} $

Это означает, что для подобия двух конусов их радиусы оснований и образующие должны быть пропорциональны.

Ответ: Два конуса подобны, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих: $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} $.

Теперь найдем отношение объемов подобных конусов. Объем конуса вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

Для двух подобных конусов с коэффициентом подобия $k$ отношения их соответствующих линейных размеров равны: $ k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{h_1}{h_2} $

Найдем отношение их объемов $V_1$ и $V_2$: $ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_1}{h_2}\right) $

Подставив в это выражение коэффициент подобия $k$, получим: $ \frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Объемы подобных конусов относятся как куб их коэффициента подобия, то есть как куб отношения их соответствующих линейных размеров (например, радиусов оснований или образующих): $ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^3 $.

Рис. 27.8

27.20. Найдите объем юрты (рис. 27.8) в форме цилиндра с поставленным на него усеченным конусом, диаметр основания цилиндра равен 5 м, диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, а высоты цилиндра и усеченного конуса равны 2 м.

Общий объем юрты $V_{юрта}$ складывается из объема ее цилиндрической части $V_{цил}$ и объема верхней части в форме усеченного конуса $V_{к.ус.}$.

$V_{юрта} = V_{цил} + V_{к.ус.}$

Дано:
Форма юрты - цилиндр с усеченным конусом наверху.
Диаметр основания цилиндра: $D_{цил} = 5$ м
Диаметры оснований усеченного конуса: $D_{к} = 5$ м и $d_{к} = 1$ м
Высота цилиндра: $h_{цил} = 2$ м
Высота усеченного конуса: $h_{к} = 2$ м

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:
Объем юрты $V_{юрта}$.

Решение:

1. Найдем объем цилиндрической части юрты ($V_{цил}$).
Формула для объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R_{цил}^2 h_{цил}$, где $R_{цил}$ - радиус основания, а $h_{цил}$ - высота.
Радиус основания цилиндра равен половине его диаметра:
$R_{цил} = \frac{D_{цил}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.
Подставим значения в формулу:
$V_{цил} = \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 2 = \pi \cdot 6.25 \cdot 2 = 12.5\pi$ м³.

2. Найдем объем верхней части юрты в форме усеченного конуса ($V_{к.ус.}$).
Формула для объема усеченного конуса: $V_{к.ус.} = \frac{1}{3} \pi h_{к} (R_{к}^2 + R_{к}r_{к} + r_{к}^2)$, где $h_{к}$ - высота, $R_{к}$ - радиус большего основания, $r_{к}$ - радиус меньшего основания.
Радиусы оснований конуса равны половинам их диаметров:
Радиус большего основания: $R_{к} = \frac{D_{к}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.
Радиус меньшего основания: $r_{к} = \frac{d_{к}}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ м.
Подставим значения в формулу:
$V_{к.ус.} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \cdot (2.5^2 + 2.5 \cdot 0.5 + 0.5^2) = \frac{2}{3} \pi \cdot (6.25 + 1.25 + 0.25) = \frac{2}{3} \pi \cdot 7.75 = \frac{15.5}{3}\pi$ м³.

3. Найдем общий объем юрты.
Сложим объемы цилиндра и усеченного конуса:
$V_{юрта} = V_{цил} + V_{к.ус.} = 12.5\pi + \frac{15.5}{3}\pi$
Приведем к общему знаменателю:
$V_{юрта} = \frac{12.5 \cdot 3}{3}\pi + \frac{15.5}{3}\pi = \frac{37.5}{3}\pi + \frac{15.5}{3}\pi = \frac{37.5 + 15.5}{3}\pi = \frac{53}{3}\pi$ м³.
Приближенное значение, если принять $\pi \approx 3.14$:
$V_{юрта} \approx \frac{53}{3} \cdot 3.14 \approx 17.67 \cdot 3.14 \approx 55.48$ м³.

Ответ: Объем юрты равен $\frac{53}{3}\pi$ м³.

27.21. Найдите объем тела, получающегося при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет равный 3 см.

Дано:

Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Длина катета, служащего осью вращения, $a = 3$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный, второй катет $b = a = 3$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = b = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется тело вращения, которое является прямым круговым конусом.

Высота этого конуса $h$ равна длине катета, вокруг которого происходит вращение. Радиус основания конуса $r$ равен длине второго катета.

Из условия задачи известно, что треугольник является равнобедренным прямоугольным, а длина его катета равна 3 см. Следовательно, оба катета равны 3 см.

Таким образом, высота конуса $h = 3$ см, и радиус его основания $r = 3$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 3$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 27$

$V = 9\pi \text{ (см}^3\text{)}$

Ответ: объем тела вращения равен $9\pi \text{ см}^3$.

27.22. Единичный квадрат вращается вокруг прямой, содержащей его диагональ. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Единичный квадрат, сторона $a = 1$.
Ось вращения — прямая, содержащая диагональ квадрата.

Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, которое образуется при вращении квадрата вокруг своей диагонали, представляет собой объединение двух одинаковых конусов с общим основанием.

Сначала найдем длину диагонали $d$ единичного квадрата (со стороной $a=1$) по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Тело вращения состоит из двух конусов. Высота каждого конуса $h$ равна половине длины диагонали, вокруг которой происходит вращение:
$h = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Радиус общего основания конусов $r$ равен расстоянию от другой диагонали до вершины, то есть половине длины второй диагонали. Так как диагонали равны, радиус также равен половине длины диагонали:
$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем одного конуса вычисляется по формуле:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Подставим значения $r$ и $h$:
$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$.

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух таких конусов:
$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

27.23. Равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 1 см, а угол между ними равен $120^\circ$, вращается вокруг прямой, содержащей одну из боковых сторон. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Длина боковых сторон: $AB = AC = l = 1$ см.

Угол между боковыми сторонами: $\angle BAC = \alpha = 120^\circ$.

Ось вращения — прямая, содержащая сторону $AB$.

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Для удобства вычислений будем использовать сантиметры.

Тело вращения образуется при вращении равнобедренного треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей одну из его боковых сторон, в данном случае $AB$.

Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Поскольку угол при вершине $A$ тупой ($\angle BAC = 120^\circ > 90^\circ$), основание перпендикуляра, точка $H$, будет лежать на продолжении стороны $AB$ за точку $A$.

Объем полученного тела вращения можно представить как разность объемов двух конусов. Первый (больший) конус образуется вращением прямоугольного треугольника $BHC$ вокруг катета $BH$. Второй (меньший) конус образуется вращением прямоугольного треугольника $AHC$ вокруг катета $AH$. Оба конуса имеют общее основание — круг радиусом $R=CH$.

Найдем радиус $R$ и высоты конусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Угол $\angle CAH$ является смежным с углом $\angle BAC$, поэтому:

$\angle CAH = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ гипотенуза $AC = l = 1$ см. Найдем катеты:

Радиус оснований конусов:

$R = CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота меньшего конуса:

$h_1 = AH = AC \cdot \cos(\angle CAH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота большего конуса равна сумме длины стороны $AB$ и отрезка $AH$:

$h_2 = BH = AB + AH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Искомый объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего ($V_2$) и меньшего ($V_1$) конусов:

$V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_2 - h_1)$.

Разность высот равна длине стороны $AB$:

$h_2 - h_1 = BH - AH = AB = l = 1$ см.

Подставим значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4}$ см$^3$.

27.24. Разверткой боковой поверхности конуса служит полукруг радиусом 2 см. Найдите объем конуса.

Дано:

Развертка боковой поверхности конуса - полукруг.

Радиус полукруга (развертки), $R_{разв} = 2 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:
$R_{разв} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Объем конуса, $V$.

Решение:

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора является образующей конуса ($l$), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$).

В данном случае разверткой является полукруг радиусом $R_{разв} = 2 \text{ см}$. Следовательно, образующая конуса $l$ равна радиусу этого полукруга:

$l = R_{разв} = 2 \text{ см}$.

Длина дуги полукруга вычисляется по формуле:

$C_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi R_{разв} = \pi R_{разв}$

Подставим значение $R_{разв}$:

$C_{дуги} = \pi \cdot 2 = 2\pi \text{ см}$.

Эта длина дуги равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{осн} = 2 \pi r$, где $r$ - радиус основания конуса.

Приравняем длины:

$2 \pi r = 2\pi$

Отсюда находим радиус основания конуса:

$r = 1 \text{ см}$.

Для нахождения объема конуса нам необходима его высота ($h$). Образующая ($l$), радиус основания ($r$) и высота конуса ($h$) образуют прямоугольный треугольник, где $l$ - гипотенуза. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 2 \text{ см}$ и $r = 1 \text{ см}$:

$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r = 1 \text{ см}$ и $h = \sqrt{3} \text{ см}$:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: объем конуса равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$.

27.25. Объем одного конуса равен $1 \text{ см}^3$. Второй конус зеркально-симметричен данному относительно плоскости, проходящей через середину высоты и параллельной основанию этого конуса. Найдите объем общей части этих конусов.

Дано:

Объем первого конуса $V_1 = 1 \text{ см}^3$.

Второй конус зеркально-симметричен данному относительно плоскости, проходящей через середину высоты и параллельной основанию этого конуса.

Найти:

Объем общей части этих конусов $V_{общ}$.

Решение:

Пусть первый конус имеет высоту $H$ и радиус основания $R$. Его объем определяется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 H = 1 \text{ см}^3$

Второй конус является зеркальным отражением первого относительно плоскости $\alpha$, которая проходит через середину высоты первого конуса и параллельна его основанию. Это означает, что плоскость $\alpha$ находится на расстоянии $H/2$ от вершины и $H/2$ от основания первого конуса.

В результате такого отражения второй конус будет идентичен первому, но "перевернут" и смещен так, что его вершина будет совпадать с центром основания первого конуса, а его основание будет лежать в той же плоскости, что и вершина первого конуса.

Общая часть двух конусов представляет собой тело, состоящее из двух меньших конусов, соединенных своими основаниями. Эти основания совпадают и лежат в плоскости симметрии $\alpha$.

Рассмотрим один из этих меньших конусов. Например, тот, который является частью первого конуса. Этот меньший конус представляет собой "верхушку" исходного конуса, отсеченную плоскостью $\alpha$.

Высота этого меньшего конуса равна $h_{мал} = H/2$.

Этот меньший конус подобен исходному конусу $V_1$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:

$k = \frac{h_{мал}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Следовательно, объем меньшего конуса $V_{мал}$ можно выразить через объем исходного конуса $V_1$:

$V_{мал} = k^3 \cdot V_1 = (\frac{1}{2})^3 \cdot V_1 = \frac{1}{8}V_1$

Общая часть двух исходных конусов состоит из двух таких одинаковых малых конусов. Поэтому, чтобы найти общий объем, нужно удвоить объем одного малого конуса:

$V_{общ} = 2 \cdot V_{мал} = 2 \cdot \frac{1}{8}V_1 = \frac{1}{4}V_1$

Подставим известное значение объема первого конуса $V_1 = 1 \text{ см}^3$:

$V_{общ} = \frac{1}{4} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.25 \text{ см}^3$

Ответ: $0.25 \text{ см}^3$.

27.26. Равносторонний треугольник со стороной равной 2 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину и параллельной высоте треугольника. Найдите объем тела вращения.

Дано:

Равносторонний треугольник

Сторона $a = 2$ см

Ось вращения проходит через вершину треугольника и параллельна его высоте.

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг внешней оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр масс (центроид).

Формула для вычисления объема: $V = 2\pi \cdot R \cdot S$, где $S$ – площадь вращаемой фигуры, а $R$ – расстояние от центроида фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь равностороннего треугольника $S$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставляя значение $a = 2$ см, получаем:

$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

2. Найдем расстояние $R$ от центроида треугольника до оси вращения.

Пусть дан треугольник $ABC$ со стороной $a=2$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина стороны $AC$.

Ось вращения по условию проходит через одну из вершин, например, через вершину $C$, и параллельна высоте $BH$.

Центроид (центр масс) равностороннего треугольника находится в точке пересечения его медиан (которые совпадают с высотами). Эта точка лежит на высоте $BH$.

Расстояние $R$ от центроида до оси вращения — это перпендикулярное расстояние от точки на высоте $BH$ до прямой, проходящей через $C$ параллельно $BH$. Это расстояние равно длине отрезка $HC$.

Поскольку $H$ — середина $AC$, то:

$R = HC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

3. Вычислим объем тела вращения $V$.

Теперь подставим найденные значения площади $S = \sqrt{3}$ см² и расстояния $R = 1$ см в формулу Паппа-Гульдина:

$V = 2\pi \cdot R \cdot S = 2\pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $2\pi\sqrt{3}$ см³.

27.27. Найдите объем кучи песка на строительной площадке, имеющей форму конуса (рис. 27.9). Измерив мягкой метровой лентой длину окружности основания кучи песка, получили 21,6 м. Перекинув метровую ленту через вершину кучи, определили длину двух образующих — 7,8 м. (Примите $ \pi \approx 3 $).

Рис. 27.9

Дано:

Куча песка имеет форму конуса.

Длина окружности основания, $C = 21,6$ м

Длина двух образующих, $2l = 7,8$ м

$\pi \approx 3$

Найти:

Объем кучи песка, $V$

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $r$ - радиус основания конуса, а $h$ - его высота.

Для нахождения объема нам необходимо определить радиус $r$ и высоту $h$ конуса.

1. Найдем длину одной образующей конуса ($l$). Из условия известно, что длина двух образующих, измеренная лентой через вершину, составляет 7,8 м. Следовательно, длина одной образующей равна половине этого значения:

$l = \frac{7,8 \text{ м}}{2} = 3,9 \text{ м}$

2. Найдем радиус основания конуса ($r$). Мы знаем длину окружности основания $C = 21,6$ м. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$. Выразим из нее радиус:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Подставим известные значения, используя приближение $\pi \approx 3$:

$r = \frac{21,6}{2 \cdot 3} = \frac{21,6}{6} = 3,6 \text{ м}$

3. Найдем высоту конуса ($h$). Образующая ($l$), радиус ($r$) и высота ($h$) конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим найденные значения $l$ и $r$:

$h = \sqrt{(3,9)^2 - (3,6)^2} = \sqrt{15,21 - 12,96} = \sqrt{2,25} = 1,5 \text{ м}$

4. Теперь, зная все необходимые величины, можем вычислить объем конуса ($V$):

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3,6)^2 \cdot 1,5$

$V = 1 \cdot 12,96 \cdot 1,5 = 19,44 \text{ м}^3$

Ответ: объем кучи песка составляет $19,44 \text{ м}^3$.