Страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.10. Параллельно основанию пирамиды проведено сечение, деля-щее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей пирамиды?

Дано:

Исходная пирамида с объемом $V$ и высотой $H$.

Сечение, параллельное основанию, делит высоту $H$ пополам.

Найти:

Отношение объемов двух частей, на которые сечение разделило исходную пирамиду.

Решение:

Пусть $V$ и $H$ — объем и высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь ее основания. Объем исходной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S H$

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду (верхнюю часть), подобную исходной. Обозначим объем, высоту и площадь основания этой меньшей пирамиды как $V_1$, $h_1$ и $S_1$ соответственно.

По условию задачи, плоскость сечения делит высоту исходной пирамиды пополам. Следовательно, высота меньшей пирамиды $h_1$ равна половине высоты исходной пирамиды $H$:

$h_1 = \frac{H}{2}$

Отношение высот подобных пирамид является коэффициентом подобия $k$:

$k = \frac{h_1}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента их подобия:

$\frac{V_1}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Таким образом, объем верхней части (меньшей пирамиды) равен:

$V_1 = \frac{1}{8}V$

Вторая часть, полученная при сечении, — это усеченная пирамида (нижняя часть). Ее объем $V_2$ можно найти как разность объемов исходной пирамиды и отсеченной верхней пирамиды:

$V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Теперь найдем отношение объемов полученных частей, то есть отношение объема верхней части $V_1$ к объему нижней части $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$

Следовательно, объемы полученных частей относятся как 1 к 7.

Ответ: Объемы полученных частей пирамиды находятся в отношении 1:7.

26.11. Найдите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 26.6).

Рис. 26.6

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида
Сторона большего основания $a = 2$ см
Сторона меньшего основания $b = 1$ см
Высота $h = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$b = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем усеченной пирамиды $V$.

Решение:

Объем усеченной пирамиды находится по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований.

Поскольку пирамида является правильной четырехугольной, ее основаниями являются квадраты.

Вычислим площадь большего основания ($S_1$):
$S_1 = a^2 = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$.

Вычислим площадь меньшего основания ($S_2$):
$S_2 = b^2 = (1 \text{ см})^2 = 1 \text{ см}^2$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для вычисления объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \text{ см} \cdot (4 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 + \sqrt{4 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см}^2})$

Проведем вычисления:
$V = 1 \text{ см} \cdot (5 \text{ см}^2 + \sqrt{4 \text{ см}^4})$
$V = 1 \text{ см} \cdot (5 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2)$
$V = 1 \text{ см} \cdot 7 \text{ см}^2$
$V = 7 \text{ см}^3$

Ответ: $7 \text{ см}^3$.

26.12. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1 см.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

SAC - диагональное сечение, является правильным треугольником.

Сторона сечения (диагональ основания) $AC = 1$ см.

Перевод в СИ:

$AC = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат ABCD. Диагональным сечением является треугольник SAC. По условию, треугольник SAC является правильным (равносторонним), и его сторона равна 1 см. Сторонами этого треугольника являются диагональ основания AC и боковые ребра SA и SC. Следовательно, они все равны:

$SA = SC = AC = 1$ см.

Таким образом, диагональ основания пирамиды $d = AC = 1$ см.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание — это квадрат ABCD с диагональю $d = 1$ см. Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$.

$S_{осн} = \frac{AC^2}{2} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $h$. Высота правильной пирамиды SO (где O - точка пересечения диагоналей основания) совпадает с высотой ее диагонального сечения SAC. Так как треугольник SAC равносторонний со стороной 1 см, его высота SO вычисляется по формуле:

$h = SO = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

26.13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

Треугольная пирамида, у которой боковые ребра взаимно перпендикулярны.
Длина каждого бокового ребра: $l = 1$ см.

$l = 0.01$ м.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Обозначим вершину пирамиды, из которой выходят взаимно перпендикулярные ребра, как $S$, а вершины основания - как $A$, $B$ и $C$. Таким образом, у нас есть пирамида $SABC$ с боковыми ребрами $SA$, $SB$ и $SC$.
Согласно условию задачи, эти ребра взаимно перпендикулярны: $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SA \perp SC$.
Длина каждого из этих ребер составляет 1 см: $SA = SB = SC = 1$ см.
Объем пирамиды находится по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,
где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
В качестве основания пирамиды мы можем выбрать одну из боковых граней, например, треугольник $\triangle ASB$.
Поскольку ребра $SA$ и $SB$ перпендикулярны, треугольник $\triangle ASB$ является прямоугольным, а его катеты равны $SA$ и $SB$.
Площадь этого основания вычисляется как:
$S_{осн} = S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}^2$.
Так как ребро $SC$ перпендикулярно ребрам $SA$ и $SB$, оно перпендикулярно и плоскости, в которой лежит треугольник $\triangle ASB$.
Следовательно, ребро $SC$ является высотой пирамиды, проведенной к основанию $ASB$.
Таким образом, высота $h = SC = 1$ см.
Теперь мы можем рассчитать объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 0.5 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{0.5}{3} \text{ см}^3 = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.

26.14. Найдите объем треугольной пирамиды, если ее боковые ребра равны 1 см, а плоские углы при вершине равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $90^\circ$.

Дано:

Треугольная пирамида
Длина боковых ребер $l = 1 \text{ см}$
Плоские углы при вершине: $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 90^\circ$

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Пусть S — вершина пирамиды, а SA, SB, SC — ее боковые ребра. По условию, $SA = SB = SC = 1 \text{ см}$.

Пусть плоские углы при вершине S будут $\angle BSC = 90^\circ$, $\angle CSA = 90^\circ$ и $\angle ASB = 60^\circ$.

Условия $\angle BSC = 90^\circ$ и $\angle CSA = 90^\circ$ означают, что боковое ребро SC перпендикулярно двум другим боковым ребрам, SA и SB.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая (SC) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (SA и SB), лежащим в плоскости (ASB), то она перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, мы можем рассматривать данную пирамиду как пирамиду, у которой основанием является треугольник ASB, а высотой — ребро SC.

Найдем площадь основания $S_{осн} = S_{ASB}$. Треугольник ASB является равнобедренным, так как $SA = SB = 1 \text{ см}$, а угол между этими сторонами равен $\angle ASB = 60^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

$S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{осн} = S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

Высота пирамиды $H$ равна длине ребра SC, так как ребро SC перпендикулярно плоскости основания ASB.

$H = SC = 1 \text{ см}$.

Теперь можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

26.15. Объем правильной шестиугольной пирамиды $6 \text{ см}^3$. Сторона основания $1 \text{ см}$. Найдите высоту этой пирамиды.

26.16. Объем

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная
Объем пирамиды $V = 6 \text{ см}^3$
Сторона основания $a = 1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$a = 1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Высоту пирамиды $H$ - ?

Решение:

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Из этой формулы мы можем выразить высоту $H$:
$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

Основанием данной пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная, что он состоит из шести одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Следовательно, площадь всего шестиугольного основания равна шести площадям такого треугольника:
$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим в эту формулу значение стороны основания $a = 1$ см:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot (1 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

Наконец, мы можем вычислить высоту пирамиды, подставив известные значения объема $V$ и найденной площади основания $S_{осн}$ в формулу для высоты:
$H = \frac{3V}{S_{осн}} = \frac{3 \cdot 6 \text{ см}^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2} = \frac{18}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, умножим на перевернутую дробь:
$H = 18 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$H = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

26.16. Объем параллелепипеда равен $1 \text{ см}^3$ (рис. 26.5). Найдите объем тетраэдра $BDA_1C_1$.

Рис. 26.5

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Объем параллелепипеда $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$

$1 \text{ см}^3 = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Объем тетраэдра $V_{BDA_1C_1}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом вычитания объемов. Объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$ можно найти, вычтя из объема всего параллелепипеда объемы четырех "угловых" тетраэдров.

Пусть объем параллелепипеда равен $V_{пар} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания $ABCD$, а $h$ - высота параллелепипеда.

Рассмотрим четыре тетраэдра, которые "отсекаются" от углов параллелепипеда, чтобы остался тетраэдр $BDA_1C_1$. Вершинами искомого тетраэдра являются $B, D, A_1, C_1$. Остальные вершины параллелепипеда, $A, C, B_1, D_1$, будут вершинами отсекаемых тетраэдров.

1. Тетраэдр с вершиной $A$. Это тетраэдр $A_1-ABD$. Его основанием является треугольник $ABD$, лежащий в плоскости основания параллелепипеда. Площадь этого треугольника равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота этого тетраэдра, проведенная из вершины $A_1$, равна высоте параллелепипеда $h$. Объем тетраэдра $A_1-ABD$ вычисляется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot h) = \frac{1}{6} V_{пар}$.

2. Тетраэдр с вершиной $C$. Это тетраэдр $C_1-CBD$. Его основание - треугольник $CBD$, площадь которого также равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{CBD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $C_1$ равна $h$. Объем тетраэдра $C_1-CBD$:

$V_2 = \frac{1}{3} S_{CBD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

3. Тетраэдр с вершиной $B_1$. Это тетраэдр $B-A_1B_1C_1$. Его основание - треугольник $A_1B_1C_1$, лежащий в верхней плоскости параллелепипеда. Его площадь $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $B$ на плоскость верхнего основания равна $h$. Объем тетраэдра $B-A_1B_1C_1$:

$V_3 = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

4. Тетраэдр с вершиной $D_1$. Это тетраэдр $D-A_1D_1C_1$. Его основание - треугольник $A_1D_1C_1$, его площадь $S_{A_1D_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $D$ на плоскость верхнего основания равна $h$. Объем тетраэдра $D-A_1D_1C_1$:

$V_4 = \frac{1}{3} S_{A_1D_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Все четыре отсекаемых тетраэдра не пересекаются по объему и вместе с тетраэдром $BDA_1C_1$ составляют весь параллелепипед. Поэтому объем искомого тетраэдра равен объему параллелепипеда за вычетом объемов этих четырех тетраэдров:

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - V_1 - V_2 - V_3 - V_4$

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - 4 \cdot (\frac{1}{6} V_{пар}) = V_{пар} - \frac{4}{6} V_{пар} = V_{пар} - \frac{2}{3} V_{пар} = \frac{1}{3} V_{пар}$.

Подставим известное значение объема параллелепипеда $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$:

$V_{BDA_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $ \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

26.17. Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра (рис. 26.7).

В каком отношении эта плоскость

делит объем пирамиды?

Рис. 26.7

Дано:

Пирамида $SABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $S$.
$D$ - середина бокового ребра $SC$, то есть $SD = DC$.
Секущая плоскость проходит через сторону основания $AB$ и точку $D$.

Найти:

Отношение, в котором плоскость $(ABD)$ делит объем пирамиды $SABC$.

Решение:

Обозначим объем исходной пирамиды $SABC$ как $V$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S$, где $S_{ABC}$ - площадь основания $ABC$, а $h_S$ - высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $(ABC)$.

Секущая плоскость $(ABD)$ делит пирамиду $SABC$ на два тела:

1. Четырехугольную пирамиду $DABC$ (или тетраэдр $ABCD$) с основанием $ABC$ и вершиной $D$.

2. Тетраэдр $SABD$ с основанием $ABD$ и вершиной $S$.

Найдем объем первого тела – пирамиды $DABC$. Обозначим его $V_1$. $V_1 = V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D$, где $h_D$ - высота пирамиды $DABC$, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $(ABC)$.

Найдем связь между высотами $h_S$ и $h_D$. Высота точки над плоскостью — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $S'$ и $D'$ — проекции точек $S$ и $D$ на плоскость основания $(ABC)$. Тогда $h_S = SS'$ и $h_D = DD'$. Точка $C$ лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой, а ее высота равна нулю.

Рассмотрим отрезок $SC$. Точка $D$ является его серединой. Прямые $SS'$ и $DD'$ параллельны друг другу (так как обе перпендикулярны плоскости $(ABC)$). По теореме Фалеса (или из подобия треугольников, образованных отрезком $SC$ и перпендикулярами), высота точки $D$ над плоскостью $(ABC)$ равна среднему арифметическому высот точек $S$ и $C$. $h_D = \frac{h_S + h_C}{2}$ Поскольку точка $C$ лежит в плоскости основания, ее высота $h_C = 0$. Следовательно, $h_D = \frac{h_S + 0}{2} = \frac{1}{2} h_S$.

Теперь можем вычислить объем $V_1$: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_D = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot \left(\frac{1}{2} h_S\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_S\right) = \frac{1}{2} V_{SABC} = \frac{1}{2} V$.

Объем второго тела, тетраэдра $SABD$, обозначим как $V_2$. Сумма объемов двух частей, на которые плоскость делит пирамиду, равна объему исходной пирамиды: $V_1 + V_2 = V$.

Отсюда находим $V_2$: $V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} V$.

Таким образом, плоскость $(ABD)$ делит объем пирамиды $SABC$ на два тела с равными объемами.

Искомое отношение объемов равно: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{2}V}{\frac{1}{2}V} = \frac{1}{1}$.

Ответ: $1:1$.

26.18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $12\text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания и середину $E$ противоположащего бокового ребра (рис. 26.8).

Рис. 26.8

Дано:

$V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$ - объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$.
Секущая плоскость проходит через диагональ основания $AC$ и середину $E$ бокового ребра $SD$.

Найти:

$V_{отс}$ - объем пирамиды, отсекаемой от исходной пирамиды указанной плоскостью.

Решение:

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$. В основании лежит квадрат $ABCD$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для данной пирамиды $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H = 12 \text{ см}^3$. Высотой пирамиды является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$.

Секущая плоскость $AEC$ отсекает от исходной пирамиды новую, меньшую пирамиду $EACD$. Это треугольная пирамида (тетраэдр) с вершинами $A, C, D, E$. Найдем ее объем. Удобно принять за основание этой пирамиды треугольник $ACD$, а за вершину — точку $E$.

Объем пирамиды $EACD$ вычисляется по формуле: $V_{EACD} = \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot h_E$, где $S_{ACD}$ — площадь основания $\triangle ACD$, а $h_E$ — высота, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $(ABC)$.

Основание отсеченной пирамиды, $\triangle ACD$, является половиной основания исходной пирамиды, так как диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных по площади треугольника. $S_{ACD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота $h_E$ пирамиды $EACD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим его $EF$, где $F$ — основание перпендикуляра. Поскольку высота всей пирамиды $SO$ также перпендикулярна плоскости $ABCD$, то $EF \parallel SO$.

Рассмотрим треугольник $SOD$. По условию, точка $E$ — середина ребра $SD$. Так как $EF \parallel SO$, то по теореме Фалеса, точка $F$ является серединой отрезка $OD$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SOD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Значит, $h_E = EF = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} H$. Таким образом, высота отсеченной пирамиды в два раза меньше высоты исходной пирамиды.

Теперь вычислим объем отсеченной пирамиды $V_{EACD}$, подставив выражения для ее площади основания и высоты: $V_{EACD} = \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot h_E = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} H\right)$.

$V_{EACD} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H\right)$.

Выражение в скобках представляет собой объем исходной пирамиды $V_{SABCD}$. $V_{EACD} = \frac{1}{4} V_{SABCD}$.

Подставим заданное значение объема $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$: $V_{EACD} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

26.19. Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1 см (рис. 26.9).

Рис. 26.9

Дано

Октаэдр с ребром $a = 1$ см.

В системе СИ: $a = 0.01$ м.

Найти:

Объем октаэдра $V$.

Решение

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Ребро октаэдра $a$ является стороной основания и боковым ребром каждой из этих пирамид.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Основанием каждой пирамиды является квадрат со стороной $a$. Его площадь равна: $S_{осн} = a^2$

Высоту пирамиды $h$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной диагонали основания $(\frac{d}{2})$ и боковым ребром $a$.

Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Соответственно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора: $a^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$ $h^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$ $h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем объем одной пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Объем всего октаэдра равен удвоенному объему одной пирамиды: $V = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{6} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Подставим в формулу значение ребра $a = 1$ см: $V = \frac{1^3 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ (см³)

Ответ: объем октаэдра равен $\frac{\sqrt{2}}{3}$ см³.