Номер 26.16, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.16. Объем параллелепипеда равен $1 \text{ см}^3$ (рис. 26.5). Найдите объем тетраэдра $BDA_1C_1$.

Рис. 26.5

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Объем параллелепипеда $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$

$1 \text{ см}^3 = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Объем тетраэдра $V_{BDA_1C_1}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом вычитания объемов. Объем искомого тетраэдра $BDA_1C_1$ можно найти, вычтя из объема всего параллелепипеда объемы четырех "угловых" тетраэдров.

Пусть объем параллелепипеда равен $V_{пар} = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания $ABCD$, а $h$ - высота параллелепипеда.

Рассмотрим четыре тетраэдра, которые "отсекаются" от углов параллелепипеда, чтобы остался тетраэдр $BDA_1C_1$. Вершинами искомого тетраэдра являются $B, D, A_1, C_1$. Остальные вершины параллелепипеда, $A, C, B_1, D_1$, будут вершинами отсекаемых тетраэдров.

1. Тетраэдр с вершиной $A$. Это тетраэдр $A_1-ABD$. Его основанием является треугольник $ABD$, лежащий в плоскости основания параллелепипеда. Площадь этого треугольника равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота этого тетраэдра, проведенная из вершины $A_1$, равна высоте параллелепипеда $h$. Объем тетраэдра $A_1-ABD$ вычисляется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot h) = \frac{1}{6} V_{пар}$.

2. Тетраэдр с вершиной $C$. Это тетраэдр $C_1-CBD$. Его основание - треугольник $CBD$, площадь которого также равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{CBD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $C_1$ равна $h$. Объем тетраэдра $C_1-CBD$:

$V_2 = \frac{1}{3} S_{CBD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

3. Тетраэдр с вершиной $B_1$. Это тетраэдр $B-A_1B_1C_1$. Его основание - треугольник $A_1B_1C_1$, лежащий в верхней плоскости параллелепипеда. Его площадь $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $B$ на плоскость верхнего основания равна $h$. Объем тетраэдра $B-A_1B_1C_1$:

$V_3 = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

4. Тетраэдр с вершиной $D_1$. Это тетраэдр $D-A_1D_1C_1$. Его основание - треугольник $A_1D_1C_1$, его площадь $S_{A_1D_1C_1} = \frac{1}{2} S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. Высота из вершины $D$ на плоскость верхнего основания равна $h$. Объем тетраэдра $D-A_1D_1C_1$:

$V_4 = \frac{1}{3} S_{A_1D_1C_1} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} V_{пар}$.

Все четыре отсекаемых тетраэдра не пересекаются по объему и вместе с тетраэдром $BDA_1C_1$ составляют весь параллелепипед. Поэтому объем искомого тетраэдра равен объему параллелепипеда за вычетом объемов этих четырех тетраэдров:

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - V_1 - V_2 - V_3 - V_4$

$V_{BDA_1C_1} = V_{пар} - 4 \cdot (\frac{1}{6} V_{пар}) = V_{пар} - \frac{4}{6} V_{пар} = V_{пар} - \frac{2}{3} V_{пар} = \frac{1}{3} V_{пар}$.

Подставим известное значение объема параллелепипеда $V_{пар} = 1 \text{ см}^3$:

$V_{BDA_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $ \frac{1}{3} \text{ см}^3$.