Номер 26.18, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.18. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $12\text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от нее плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания и середину $E$ противоположащего бокового ребра (рис. 26.8).

Рис. 26.8

Дано:

$V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$ - объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$.
Секущая плоскость проходит через диагональ основания $AC$ и середину $E$ бокового ребра $SD$.

Найти:

$V_{отс}$ - объем пирамиды, отсекаемой от исходной пирамиды указанной плоскостью.

Решение:

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$. В основании лежит квадрат $ABCD$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для данной пирамиды $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H = 12 \text{ см}^3$. Высотой пирамиды является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$.

Секущая плоскость $AEC$ отсекает от исходной пирамиды новую, меньшую пирамиду $EACD$. Это треугольная пирамида (тетраэдр) с вершинами $A, C, D, E$. Найдем ее объем. Удобно принять за основание этой пирамиды треугольник $ACD$, а за вершину — точку $E$.

Объем пирамиды $EACD$ вычисляется по формуле: $V_{EACD} = \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot h_E$, где $S_{ACD}$ — площадь основания $\triangle ACD$, а $h_E$ — высота, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $(ABC)$.

Основание отсеченной пирамиды, $\triangle ACD$, является половиной основания исходной пирамиды, так как диагональ $AC$ делит квадрат $ABCD$ на два равных по площади треугольника. $S_{ACD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота $h_E$ пирамиды $EACD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим его $EF$, где $F$ — основание перпендикуляра. Поскольку высота всей пирамиды $SO$ также перпендикулярна плоскости $ABCD$, то $EF \parallel SO$.

Рассмотрим треугольник $SOD$. По условию, точка $E$ — середина ребра $SD$. Так как $EF \parallel SO$, то по теореме Фалеса, точка $F$ является серединой отрезка $OD$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SOD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Значит, $h_E = EF = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} H$. Таким образом, высота отсеченной пирамиды в два раза меньше высоты исходной пирамиды.

Теперь вычислим объем отсеченной пирамиды $V_{EACD}$, подставив выражения для ее площади основания и высоты: $V_{EACD} = \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot h_E = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} H\right)$.

$V_{EACD} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H\right)$.

Выражение в скобках представляет собой объем исходной пирамиды $V_{SABCD}$. $V_{EACD} = \frac{1}{4} V_{SABCD}$.

Подставим заданное значение объема $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$: $V_{EACD} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.