Номер 26.15, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.15. Объем правильной шестиугольной пирамиды $6 \text{ см}^3$. Сторона основания $1 \text{ см}$. Найдите высоту этой пирамиды.

26.16. Объем

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная
Объем пирамиды $V = 6 \text{ см}^3$
Сторона основания $a = 1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$
$a = 1 \text{ см} = 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Высоту пирамиды $H$ - ?

Решение:

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$
где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Из этой формулы мы можем выразить высоту $H$:
$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

Основанием данной пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная, что он состоит из шести одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.

Площадь одного такого равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Следовательно, площадь всего шестиугольного основания равна шести площадям такого треугольника:
$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим в эту формулу значение стороны основания $a = 1$ см:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot (1 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

Наконец, мы можем вычислить высоту пирамиды, подставив известные значения объема $V$ и найденной площади основания $S_{осн}$ в формулу для высоты:
$H = \frac{3V}{S_{осн}} = \frac{3 \cdot 6 \text{ см}^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2} = \frac{18}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, умножим на перевернутую дробь:
$H = 18 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$H = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.