Номер 26.8, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.8. Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высота будет увеличена в три раза, а сторона основания уменьшена в три раза?

Дано:
Пусть $V_1$ - начальный объем пирамиды, $h_1$ - начальная высота, $a_1$ - начальная сторона основания.
После изменений: $h_2$ - новая высота, $a_2$ - новая сторона основания, $V_2$ - новый объем.
По условию:
$h_2 = 3h_1$ (высота увеличена в три раза)
$a_2 = \frac{a_1}{3}$ (сторона основания уменьшена в три раза)

Найти:
Как изменится объем, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:
Формула для вычисления объема пирамиды имеет вид: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для начального состояния пирамиды объем $V_1$ равен: $V_1 = \frac{1}{3} S_1 \cdot h_1$ где $S_1$ — начальная площадь основания.

Пирамида является правильной, значит, в ее основании лежит правильный многоугольник. Площадь любого многоугольника пропорциональна квадрату его стороны. Следовательно, мы можем записать: $S_1 \sim a_1^2$.

Найдем новую площадь основания $S_2$. Так как новая сторона основания $a_2 = \frac{a_1}{3}$, то: $S_2 \sim a_2^2 = (\frac{a_1}{3})^2 = \frac{a_1^2}{9}$. Это означает, что новая площадь основания в 9 раз меньше начальной: $S_2 = \frac{S_1}{9}$.

Теперь можем найти новый объем пирамиды $V_2$, используя новые значения высоты $h_2 = 3h_1$ и площади основания $S_2 = \frac{S_1}{9}$: $V_2 = \frac{1}{3} S_2 \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{S_1}{9}\right) \cdot (3h_1)$.

Упростим полученное выражение и выразим его через $V_1$: $V_2 = \frac{3}{9} \cdot \left(\frac{1}{3} S_1 \cdot h_1\right) = \frac{1}{3} \cdot V_1$.

Таким образом, новый объем $V_2$ в три раза меньше начального объема $V_1$.

Ответ: объем правильной пирамиды уменьшится в 3 раза.