Номер 26.6, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.6. Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1 см.

26.7. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра, $a = 1$ см

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра, $V$

Решение:

Объем правильного тетраэдра (пирамиды, все грани которой — равносторонние треугольники) с ребром $a$ можно найти по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдем высоту тетраэдра.

Высота $H$ правильного тетраэдра опускается из вершины в центр его основания (центр равностороннего треугольника). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и расстоянием $R$ от вершины основания до его центра (второй катет). Расстояние $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника в основании.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \sqrt{\frac{2}{3}}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$H = 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ см.

3. Вычислим объем.

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{12} \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.

Также можно воспользоваться готовой формулой для объема правильного тетраэдра с ребром $a$:

$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Подставив $a = 1$ см, получаем тот же результат:

$V = \frac{1^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.

Ответ: объем тетраэдра равен $\frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.