Номер 26.12, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.12. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1 см.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

SAC - диагональное сечение, является правильным треугольником.

Сторона сечения (диагональ основания) $AC = 1$ см.

Перевод в СИ:

$AC = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат ABCD. Диагональным сечением является треугольник SAC. По условию, треугольник SAC является правильным (равносторонним), и его сторона равна 1 см. Сторонами этого треугольника являются диагональ основания AC и боковые ребра SA и SC. Следовательно, они все равны:

$SA = SC = AC = 1$ см.

Таким образом, диагональ основания пирамиды $d = AC = 1$ см.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание — это квадрат ABCD с диагональю $d = 1$ см. Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$.

$S_{осн} = \frac{AC^2}{2} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $h$. Высота правильной пирамиды SO (где O - точка пересечения диагоналей основания) совпадает с высотой ее диагонального сечения SAC. Так как треугольник SAC равносторонний со стороной 1 см, его высота SO вычисляется по формуле:

$h = SO = \frac{AC \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.