Номер 26.5, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.5. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь основания (шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ окружности, описанной около основания (катет). Вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.

В нашем случае $R = a = 1$ см.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = H^2 + R^2$.

Выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Подставим известные значения $l = 2$ см и $R = 1$ см:

$H = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

3. Вычислим объем пирамиды $V$.

Теперь, когда известны площадь основания и высота, мы можем найти объем по исходной формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}$.

$V = \frac{1 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3})^2}{6} = \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.