Страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная усеченная четырехугольная пирамида.

Сторона большего основания: $a$

Сторона меньшего основания: $b$

Высота усеченной пирамиды: $h$

Найти:

Формулу объема $V$ усеченной пирамиды.

Решение:

Для вывода формулы объема усеченной пирамиды представим ее как разность объемов двух полных пирамид: большой исходной пирамиды и малой пирамиды, отсеченной от ее вершины плоскостью, параллельной основанию.

Объем полной пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H_{пир}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H_{пир}$ — высота.

Пусть $S_1$ — площадь большего основания усеченной пирамиды, а $S_2$ — площадь меньшего основания. Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основания — квадраты. Следовательно:

$S_1 = a^2$

$S_2 = b^2$

Пусть $H$ — высота полной большой пирамиды, а $x$ — высота малой (отсеченной) пирамиды. Тогда высота усеченной пирамиды $h$ равна разности их высот:

$h = H - x$

Объем усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов большой и малой пирамид:

$V = V_{большой} - V_{малой} = \frac{1}{3}S_1 H - \frac{1}{3}S_2 x = \frac{1}{3}(a^2 H - b^2 x)$

Малая (отсеченная) пирамида подобна большой исходной пирамиде. Из подобия следует, что отношение их линейных размеров (высот и сторон оснований) равно:

$\frac{x}{H} = \frac{b}{a}$

Из этого соотношения выразим $x$ через $H$:

$x = H \frac{b}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу для высоты усеченной пирамиды $h$:

$h = H - x = H - H\frac{b}{a} = H(1 - \frac{b}{a}) = H \frac{a-b}{a}$

Отсюда выразим высоту большой пирамиды $H$ через известные величины $h, a, b$:

$H = \frac{ha}{a-b}$

А также выразим высоту малой пирамиды $x$:

$x = H - h = \frac{ha}{a-b} - h = h(\frac{a}{a-b} - 1) = h(\frac{a-(a-b)}{a-b}) = \frac{hb}{a-b}$

Теперь подставим найденные выражения для $H$ и $x$ в формулу для объема усеченной пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3}(a^2 H - b^2 x) = \frac{1}{3}(a^2 \cdot \frac{ha}{a-b} - b^2 \cdot \frac{hb}{a-b})$

Вынесем общий множитель $\frac{h}{a-b}$ за скобки:

$V = \frac{1}{3} \frac{h}{a-b} (a^3 - b^3)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$V = \frac{1}{3} \frac{h}{a-b} (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Сократив множитель $(a-b)$, получаем искомую формулу объема правильной усеченной четырехугольной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$

Ответ:

Формула объема правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований $a$ и $b$ и высотой $h$ имеет вид: $V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$.

Вопросы

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?
Объем треугольной пирамиды (также называемой тетраэдром) определяется как одна треть произведения площади ее основания на высоту. В данном случае основанием является треугольник. Высота пирамиды — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость ее основания.
Формула для вычисления объема:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
где:
$V$ — объем пирамиды,
$S_{осн}$ — площадь треугольного основания,
$h$ — высота пирамиды.
Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется с использованием соответствующей формулы для площади треугольника (например, через основание и высоту, по формуле Герона или через две стороны и угол между ними).
Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?
Объем произвольной n-угольной пирамиды вычисляется по универсальной формуле, которая справедлива для любой пирамиды, независимо от формы ее основания. Объем равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Основанием такой пирамиды может быть любой многоугольник (квадрат, прямоугольник, пятиугольник и т.д.). Высота пирамиды ($h$) — это перпендикуляр, проведенный из ее вершины к плоскости основания.
Формула для вычисления объема:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
где:
$V$ — объем пирамиды,
$S_{осн}$ — площадь многоугольника в основании,
$h$ — высота пирамиды.
Эта формула является обобщением формулы для треугольной пирамиды.
Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?
Усеченная пирамида — это часть пирамиды, которая находится между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. У такой фигуры есть два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными многоугольниками, и высота — расстояние между этими основаниями.
Объем усеченной пирамиды вычисляется по следующей специальной формуле:
$V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$
где:
$V$ — объем усеченной пирамиды,
$h$ — высота усеченной пирамиды,
$S_1$ — площадь нижнего (большего) основания,
$S_2$ — площадь верхнего (меньшего) основания.
Член $\sqrt{S_1 S_2}$ представляет собой среднее геометрическое площадей оснований.
Ответ: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$

26.1. Выведите формулу объема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $a$ и высотой $h$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания: $a$

Высота пирамиды: $h$

Найти:

Формулу объема пирамиды $V$.

Решение:

Объем любой пирамиды можно найти по общей формуле, которая связывает площадь основания и высоту:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.

По условию задачи, пирамида является правильной четырехугольной. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.

Сторона этого квадрата по условию равна $a$.

Площадь квадрата ($S_{осн}$) со стороной $a$ вычисляется как:

$S_{осн} = a \cdot a = a^2$

Высота пирамиды дана в условии и равна $h$.

Теперь подставим найденное выражение для площади основания в общую формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot (a^2) \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$

Это и есть искомая формула объема для правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $a$ и высотой $h$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} a^2 h$.

26.2. В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найдите ее объем.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида

Высота $H = 3$ м

Боковое ребро $L = 5$ м

Найти:

Объем пирамиды $V$

26.3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания и высота которой равны 1 см.

Дано:

Пирамида - правильная треугольная.

Сторона основания, $a = 1$ см.

Высота пирамиды, $H = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды, $V$ - ?

Решение:

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ - это площадь основания пирамиды, а $H$ - ее высота.

Так как пирамида правильная треугольная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу известное значение стороны основания $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$

Теперь мы можем рассчитать объем пирамиды, подставив найденную площадь основания и данную высоту $H = 1$ см в основную формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$

Ответ: объем правильной треугольной пирамиды равен $\frac{\sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

26.4. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 1 см.

26.5. Найд

Дано:

Пирамида - правильная шестиугольная

Сторона основания $a = 1 \text{ см}$

Высота пирамиды $h = 1 \text{ см}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников, на которые его можно разделить. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Следовательно, площадь основания (правильного шестиугольника) равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу значение стороны основания $a = 1 \text{ см}$:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot (1 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания и высоту ($h = 1 \text{ см}$), можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \frac{3\sqrt{3}}{6} \text{ см}^3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$

Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды равен $V = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

26.5. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 1$ см. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь основания (шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ окружности, описанной около основания (катет). Вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a$.

В нашем случае $R = a = 1$ см.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = H^2 + R^2$.

Выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Подставим известные значения $l = 2$ см и $R = 1$ см:

$H = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$.

3. Вычислим объем пирамиды $V$.

Теперь, когда известны площадь основания и высота, мы можем найти объем по исходной формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}$.

$V = \frac{1 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3})^2}{6} = \frac{3 \cdot 3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $1.5 \text{ см}^3$.

26.6. Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1 см.

26.7. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра, $a = 1$ см

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра, $V$

Решение:

Объем правильного тетраэдра (пирамиды, все грани которой — равносторонние треугольники) с ребром $a$ можно найти по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

2. Найдем высоту тетраэдра.

Высота $H$ правильного тетраэдра опускается из вершины в центр его основания (центр равностороннего треугольника). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром тетраэдра $a$ (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и расстоянием $R$ от вершины основания до его центра (второй катет). Расстояние $R$ является радиусом описанной окружности для треугольника в основании.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = a^2$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a \sqrt{\frac{2}{3}}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$H = 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ см.

3. Вычислим объем.

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{12} \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.

Также можно воспользоваться готовой формулой для объема правильного тетраэдра с ребром $a$:

$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Подставив $a = 1$ см, получаем тот же результат:

$V = \frac{1^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.

Ответ: объем тетраэдра равен $\frac{\sqrt{2}}{12}$ см³.

26.7. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Дано:

Пусть $a_1$ - начальная длина ребра правильного тетраэдра.

Пусть $V_1$ - начальный объем правильного тетраэдра.

Пусть $a_2$ - конечная длина ребра правильного тетраэдра.

Пусть $V_2$ - конечный объем правильного тетраэдра.

По условию, ребра увеличили в два раза, значит $a_2 = 2 \cdot a_1$.

Найти:

Отношение конечного объема к начальному, то есть $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем правильного тетраэдра с длиной ребра $a$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

Начальный объем тетраэдра ($V_1$) с ребром $a_1$ равен:

$V_1 = \frac{a_1^3 \sqrt{2}}{12}$

После увеличения длины ребра в два раза, новая длина ребра стала $a_2 = 2a_1$.

Новый объем тетраэдра ($V_2$) с ребром $a_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{a_2^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{(2a_1)^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{8a_1^3 \sqrt{2}}{12}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема к начальному:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8a_1^3 \sqrt{2}}{12}}{\frac{a_1^3 \sqrt{2}}{12}}$

Сократив одинаковые множители $\frac{a_1^3 \sqrt{2}}{12}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = 8$

Этот же результат можно получить, используя общее свойство подобных тел. Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, то его объем увеличится в $k^3$ раз. В данном случае коэффициент увеличения линейных размеров $k=2$, поэтому объем увеличивается в $k^3 = 2^3 = 8$ раз.

Ответ: Объем правильного тетраэдра увеличится в 8 раз.

26.8. Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высота будет увеличена в три раза, а сторона основания уменьшена в три раза?

Дано:
Пусть $V_1$ - начальный объем пирамиды, $h_1$ - начальная высота, $a_1$ - начальная сторона основания.
После изменений: $h_2$ - новая высота, $a_2$ - новая сторона основания, $V_2$ - новый объем.
По условию:
$h_2 = 3h_1$ (высота увеличена в три раза)
$a_2 = \frac{a_1}{3}$ (сторона основания уменьшена в три раза)

Найти:
Как изменится объем, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:
Формула для вычисления объема пирамиды имеет вид: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для начального состояния пирамиды объем $V_1$ равен: $V_1 = \frac{1}{3} S_1 \cdot h_1$ где $S_1$ — начальная площадь основания.

Пирамида является правильной, значит, в ее основании лежит правильный многоугольник. Площадь любого многоугольника пропорциональна квадрату его стороны. Следовательно, мы можем записать: $S_1 \sim a_1^2$.

Найдем новую площадь основания $S_2$. Так как новая сторона основания $a_2 = \frac{a_1}{3}$, то: $S_2 \sim a_2^2 = (\frac{a_1}{3})^2 = \frac{a_1^2}{9}$. Это означает, что новая площадь основания в 9 раз меньше начальной: $S_2 = \frac{S_1}{9}$.

Теперь можем найти новый объем пирамиды $V_2$, используя новые значения высоты $h_2 = 3h_1$ и площади основания $S_2 = \frac{S_1}{9}$: $V_2 = \frac{1}{3} S_2 \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{S_1}{9}\right) \cdot (3h_1)$.

Упростим полученное выражение и выразим его через $V_1$: $V_2 = \frac{3}{9} \cdot \left(\frac{1}{3} S_1 \cdot h_1\right) = \frac{1}{3} \cdot V_1$.

Таким образом, новый объем $V_2$ в три раза меньше начального объема $V_1$.

Ответ: объем правильной пирамиды уменьшится в 3 раза.

26.9. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки:

а) $A, B, C, D, B_1$;

б) $A, B, D, C_1$ (рис. 26.5).

Рис. 26.5

Дано:

Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V = 1$ см³.

Перевод в систему СИ:

$V = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

$V_a$ - объем многогранника с вершинами $A, B, C, D, B_1$.

$V_б$ - объем многогранника с вершинами $A, B, D, C_1$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота. В нашем случае основанием является параллелограмм $ABCD$, поэтому $V = S_{ABCD} \cdot H = 1$ см³.

а) A, B, C, D, B₁;

Многогранник с указанными вершинами представляет собой четырехугольную пирамиду $B_1ABCD$. Основанием этой пирамиды является параллелограмм $ABCD$, который также является основанием всего параллелепипеда. Следовательно, площадь основания пирамиды $S_{пир.осн.} = S_{ABCD}$. Высота пирамиды, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость основания $ABCD$, совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Объем пирамиды находится по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Таким образом, объем искомого многогранника $V_a$ равен:

$V_a = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot H = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{3}$ см³.

б) A, B, D, C₁;

Многогранник с указанными вершинами является тетраэдром (треугольной пирамидой) $C_1ABD$. В качестве основания этого тетраэдра выберем треугольник $ABD$.

Диагональ $BD$ делит основание параллелепипеда (параллелограмм $ABCD$) на два равных по площади треугольника. Следовательно, площадь основания тетраэдра $S_{ABD}$ равна половине площади основания параллелепипеда: $S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота тетраэдра, опущенная из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABD$ (то есть на плоскость $ABCD$), совпадает с высотой параллелепипеда $H$.

Объем тетраэдра вычисляется по той же формуле, что и объем пирамиды: $V_{тетр} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Подставляя наши данные, находим объем многогранника $V_б$:

$V_б = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H) = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{1}{6}$ см³.