Страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.3. Одна кружка вдвое выше другой, зато вторая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?

Дано:

Имеются две кружки, которые мы для простоты будем считать идеальными цилиндрами.

Пусть $h_1, d_1, r_1, V_1$ – соответственно высота, диаметр, радиус и вместимость (объем) первой кружки.

Пусть $h_2, d_2, r_2, V_2$ – соответственно высота, диаметр, радиус и вместимость (объем) второй кружки.

Согласно условию задачи:

1. Одна кружка вдвое выше другой. Примем, что первая кружка выше второй: $h_1 = 2h_2$.

2. Вторая кружка в полтора раза шире. Ширина соответствует диаметру: $d_2 = 1.5d_1$. Так как радиус $r$ равен половине диаметра $d$, то соотношение радиусов будет таким же: $r_2 = 1.5r_1$.

Найти:

Какая кружка вместительнее, то есть необходимо сравнить их объемы $V_1$ и $V_2$.

Решение:

Вместимость кружки определяется ее объемом. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Запишем формулы для объемов каждой кружки:

Объем первой кружки: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Объем второй кружки: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$.

Теперь воспользуемся соотношениями из условия задачи, чтобы выразить объемы через одни и те же параметры, например, через $r_1$ и $h_2$.

Подставим $h_1 = 2h_2$ в формулу для $V_1$:

$V_1 = \pi r_1^2 (2h_2) = 2\pi r_1^2 h_2$

Подставим $r_2 = 1.5r_1$ в формулу для $V_2$:

$V_2 = \pi (1.5r_1)^2 h_2 = \pi (1.5^2 r_1^2) h_2 = \pi (2.25 r_1^2) h_2 = 2.25\pi r_1^2 h_2$

Теперь у нас есть выражения для объемов обеих кружек, которые можно сравнить:

$V_1 = 2 \cdot (\pi r_1^2 h_2)$

$V_2 = 2.25 \cdot (\pi r_1^2 h_2)$

Так как множитель $2.25$ больше, чем $2$, то и объем второй кружки больше объема первой: $V_2 > V_1$.

Чтобы узнать, насколько вторая кружка вместительнее, найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{2.25\pi r_1^2 h_2}{2\pi r_1^2 h_2} = \frac{2.25}{2} = 1.125$

Таким образом, объем второй кружки в $1.125$ раза (или на $12.5\%$) больше объема первой.

Ответ:

Вторая кружка, которая ниже, но шире, является более вместительной.

25.4. Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной $a$.

Дано:

Квадрат со стороной $a$.

Найти:

Объем $V$ фигуры вращения.

Решение:

При вращении квадрата вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое представляет собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна стороне квадрата, которая служит осью вращения. Следовательно, $h = a$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен другой стороне квадрата, которая перпендикулярна оси вращения. Следовательно, $r = a$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Подставим в эту формулу значения высоты и радиуса, которые мы определили:

$V = \pi \cdot a^2 \cdot a$

Упростим выражение:

$V = \pi a^3$

Таким образом, объем фигуры, полученной при вращении квадрата вокруг его стороны, равен $\pi a^3$.

Ответ: $V = \pi a^3$.

25.5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 1 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^{\circ}$. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра, $d = 1$ см

Угол наклона диагонали к плоскости основания, $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, $V$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$, его сторона, лежащая в плоскости основания (диаметр $D$), и боковая сторона (высота $h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике диагональ $d$ является гипотенузой, а высота $h$ и диаметр $D$ — катетами. Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$, который равен $\alpha = 30^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем высоту $h$ и диаметр $D$.

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:

$h = d \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \text{ см}$

Диаметр основания $D$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:

$D = d \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $h$ в формулу объема:

$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 \cdot 0.5 = \pi \cdot \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{32} \text{ см}^3$

Ответ: $\frac{3\pi}{32} \text{ см}^3$.

25.6. Найдите объем цилиндра, вписанного в единичный куб.

Дано:

Единичный куб, ребро куба $a = 1$.

В куб вписан цилиндр.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение:

По определению, единичный куб — это куб с длиной ребра, равной 1. Обозначим длину ребра куба как $a$, тогда $a=1$.

Если цилиндр вписан в куб, это означает, что его основания (два круга) вписаны в две противоположные грани куба. Ось цилиндра соединяет центры этих граней.

Следовательно, высота цилиндра $h$ равна длине ребра куба $a$.

$h = a = 1$

Основание цилиндра представляет собой круг, вписанный в квадратную грань куба. Диаметр этого круга $d$ равен стороне квадрата, то есть ребру куба $a$.

$d = a = 1$

Радиус основания цилиндра $r$ равен половине его диаметра:

$r = d/2 = a/2 = 1/2$

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу:

$V = \pi \cdot (1/2)^2 \cdot 1 = \pi \cdot (1/4) \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

25.6. Найдите объем цилиндра, вписанного в единичный куб.

25.7. В основании прямой призмы находится квадрат со стороной 1 см.
Боковые ребра равны 2 см. Найдите объем цилиндра, описанного
около этой призмы.

Дано:
Призма прямая, в основании которой лежит квадрат.
Сторона квадрата $a = 1$ см.
Боковое ребро (высота призмы) $h_{пр} = 2$ см.
Цилиндр описан около призмы.

Найти:
Объем цилиндра $V_{цил}$.

Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_{цил} = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$
где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр описан около прямой призмы, их высоты равны. Следовательно, высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h_{пр}$.
$H = h_{пр} = 2$ см.

Основание цилиндра представляет собой круг, описанный вокруг основания призмы, то есть вокруг квадрата со стороной $a = 1$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали $d$.
Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Подставим значение стороны квадрата $a = 1$ см:
$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус основания цилиндра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Подставим найденные значения радиуса $R$ и высоты $H$ в формулу для объема цилиндра:
$V_{цил} = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2$
$V_{цил} = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \pi$ см$^3$.

Ответ: $ \pi $ см$^3$.

25.8. Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон $a$ и $b$. Как относятся объемы цилиндров?

Дано:

Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, где $a \neq b$.

Цилиндр 1 ($Ц_1$) образован вращением прямоугольника вокруг стороны $a$.

Цилиндр 2 ($Ц_2$) образован вращением прямоугольника вокруг стороны $b$.

Найти:

Отношение объемов цилиндров $\frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

1. Найдем объем первого цилиндра ($V_1$), который образован вращением прямоугольника вокруг стороны $a$.В этом случае высота цилиндра $H_1$ будет равна стороне $a$, так как вращение происходит вокруг нее. Радиус основания цилиндра $R_1$ будет равен другой стороне прямоугольника, то есть $b$.

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_1 = \pi R_1^2 H_1 = \pi b^2 a$

2. Найдем объем второго цилиндра ($V_2$), который образован вращением прямоугольника вокруг стороны $b$.В этом случае высота цилиндра $H_2$ будет равна стороне $b$, а радиус его основания $R_2$ будет равен стороне $a$.

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi a^2 b$

3. Теперь найдем, как относятся объемы этих цилиндров. Для этого разделим объем первого цилиндра на объем второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi b^2 a}{\pi a^2 b}$

Сократим в дроби общие множители $\pi$, $a$ и $b$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{b}{a}$

Таким образом, отношение объема цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $a$, к объему цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $b$, равно отношению стороны $b$ к стороне $a$.

Ответ: Объемы цилиндров относятся как $b:a$ (или $a:b$, в зависимости от порядка сравнения). Если рассматривать отношение объема цилиндра, образованного вращением вокруг стороны $a$, к объему цилиндра, образованного вращением вокруг стороны $b$, то оно равно $\frac{b}{a}$.

25.9. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

25.10. Найдите объем $V$ части цилиндра, изображенной на рисунке

Дано:
Правильная четырехугольная призма.
$V_{опис}$ - объем цилиндра, описанного около призмы.
$V_{впис}$ - объем цилиндра, вписанного в призму.

Найти:
$\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$

Решение:

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$, а высота призмы — $h$. Высоты как описанного, так и вписанного цилиндров будут равны высоте призмы $h$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота.

1. Найдем объем описанного цилиндра ($V_{опис}$).

Основание описанного цилиндра представляет собой окружность, описанную около квадрата, который является основанием призмы. Радиус этой окружности, $R_{опис}$, равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, радиус описанного цилиндра: $R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Тогда объем описанного цилиндра равен: $V_{опис} = \pi R_{опис}^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h = \frac{\pi a^2 h}{2}$.

2. Найдем объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$).

Основание вписанного цилиндра — это окружность, вписанная в квадрат-основание призмы. Радиус этой окружности, $R_{впис}$, равен половине стороны квадрата.

Следовательно, радиус вписанного цилиндра: $R_{впис} = \frac{a}{2}$.

Тогда объем вписанного цилиндра равен: $V_{впис} = \pi R_{впис}^2 h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4}$.

3. Найдем отношение объемов.

Чтобы определить, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного, разделим $V_{опис}$ на $V_{впис}$: $\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{2}}{\frac{\pi a^2 h}{4}}$.

Сократив общие множители $\pi a^2 h$, получим: $\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{1/2}{1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

25.10. Найдите объем $V$ части цилиндра, изображенной на рисунке, высекаемой из цилиндра прямым двугранным углом (рис. 25.2). Радиус основания цилиндра равен 2 см, а образующая равна 3 см.

$O_1$

$90^\circ$

$2$

$3$

$O$

Рис. 25.2

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 2$ см
Образующая (высота) цилиндра $H = 3$ см
Двугранный угол, высекающий часть цилиндра, $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем части цилиндра $V$.

Решение:

Часть цилиндра, высекаемая двугранным углом, ось которого совпадает с осью цилиндра, называется цилиндрическим сектором. Объем такой фигуры можно найти по общей формуле для тел с постоянным поперечным сечением: объем равен произведению площади основания на высоту.

В данном случае основанием является сектор круга с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, равным данному двугранному углу $90^\circ$. Высотой является образующая цилиндра $H$.

Площадь основания (сектора круга) $S_{сектора}$ вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$.

Подставим заданные значения в сантиметрах, так как это упростит вычисления: $S_{сектора} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4 \text{ см}^2 = \pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем $V$ части цилиндра, умножив площадь основания на высоту $H$: $V = S_{сектора} \cdot H$.

$V = \pi \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3\pi \text{ см}^3$.

Другой способ решения — найти объем всего цилиндра и взять его часть, соответствующую доле сектора. Объем всего цилиндра: $V_{цилиндра} = \pi R^2 H = \pi (2 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^3$. Так как двугранный угол равен $90^\circ$, что составляет $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ от полного угла, то объем искомой части составляет $\frac{1}{4}$ от объема всего цилиндра. $V = \frac{1}{4} V_{цилиндра} = \frac{1}{4} \cdot 12\pi \text{ см}^3 = 3\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $V = 3\pi \text{ см}^3$.

25.11. В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?

Дано:

Диаметр цилиндрического сосуда, $d = 9 \text{ см}$

Высота подъема жидкости, $h = 12 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$d = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Объем детали, $V_{дет}$

Решение:

Объем детали, полностью погруженной в жидкость, равен объему вытесненной ею жидкости. Когда деталь опускают в цилиндрический сосуд, вытесненная жидкость образует дополнительный слой в форме цилиндра. Высота этого цилиндра равна высоте, на которую поднялся уровень жидкости ($h$), а площадь его основания ($S$) равна площади основания сосуда.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = S \cdot h$

Площадь основания (круга) находится по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания. Радиус равен половине диаметра: $r = d/2$. Таким образом, формула для объема детали приобретает вид: $V_{дет} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h$

Проведем вычисления в сантиметрах, так как это удобнее для исходных данных.

Найдем радиус основания сосуда: $r = \frac{d}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4.5 \text{ см}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для объема: $V_{дет} = \pi \cdot (4.5 \text{ см})^2 \cdot 12 \text{ см}$

$V_{дет} = \pi \cdot 20.25 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см}$

$V_{дет} = 243\pi \text{ см}^3$

Для получения численного значения можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $V_{дет} \approx 243 \cdot 3.14159 \approx 763.4 \text{ см}^3$

Ответ: объем детали равен $243\pi \text{ см}^3$ (приблизительно $763.4 \text{ см}^3$).

25.12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого?

Дано:

Высота жидкости в первом сосуде: $h_1 = 16$ см

Соотношение диаметров сосудов: $d_2 = 2d_1$

$h_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде: $h_2$

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ - площадь основания, а $h$ - высота уровня жидкости.

Площадь основания цилиндра (круга) равна $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус. Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу площади можно записать через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Запишем объем жидкости в первом сосуде ($V_1$), используя его высоту $h_1$ и диаметр $d_1$:

$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

Теперь запишем объем жидкости во втором сосуде ($V_2$). Его диаметр $d_2 = 2d_1$, а искомую высоту обозначим как $h_2$:

$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2 = \frac{\pi (2d_1)^2}{4} \cdot h_2 = \frac{\pi \cdot 4d_1^2}{4} \cdot h_2 = \pi d_1^2 \cdot h_2$

Так как жидкость просто перелили из одного сосуда в другой, ее объем не изменился. Следовательно, $V_1 = V_2$.

Приравняем выражения для объемов:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \pi d_1^2 \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на $\pi d_1^2$ (так как диаметр не равен нулю):

$\frac{h_1}{4} = h_2$

Теперь подставим известное значение высоты $h_1 = 16$ см:

$h_2 = \frac{16 \text{ см}}{4} = 4 \text{ см}$

Можно заметить, что так как диаметр увеличился в 2 раза, площадь основания увеличилась в $2^2 = 4$ раза. Поскольку объем жидкости остался прежним, высота должна уменьшиться в 4 раза.

Ответ: уровень жидкости будет находиться на высоте 4 см.

25.13. Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник.

Сторона 1 ($a$) = 1 см

Сторона 2 ($b$) = 2 см

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м

$b = 0.02$ м

Найти:

Объем цилиндра ($V$).

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая – длине окружности его основания ($C = 2\pi r$).

Поскольку в условии задачи не указано, какая из сторон прямоугольника является высотой, а какая – длиной окружности основания, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Пусть высота цилиндра равна 1 см, а длина окружности основания равна 2 см.

В этом случае имеем:

$h_1 = 1$ см

$C_1 = 2$ см

Из формулы длины окружности $C_1 = 2\pi r_1$ найдем радиус основания $r_1$:

$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$ см.

Теперь вычислим объем цилиндра для этого случая:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} \cdot 1 = \frac{1}{\pi}$ см³.

Случай 2. Пусть высота цилиндра равна 2 см, а длина окружности основания равна 1 см.

В этом случае имеем:

$h_2 = 2$ см

$C_2 = 1$ см

Из формулы длины окружности $C_2 = 2\pi r_2$ найдем радиус основания $r_2$:

$r_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}$ см.

Вычислим объем цилиндра для этого случая:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{4\pi^2} \cdot 2 = \frac{2\pi}{4\pi^2} = \frac{1}{2\pi}$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от того, какая сторона развертки является высотой цилиндра.

Ответ: объем цилиндра равен $\frac{1}{\pi}$ см³ или $\frac{1}{2\pi}$ см³.

Тема: Объем шара.

25.14. Найдите объем цилиндра, описанного около единичной сферы.

Дано:

Цилиндр, описанный около единичной сферы.
Радиус единичной сферы $R = 1$.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение:

Объем цилиндра находится по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — это радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Так как цилиндр описан около сферы, это означает, что сфера вписана в цилиндр. В этом случае радиус основания цилиндра равен радиусу сферы, а высота цилиндра равна диаметру сферы.

Радиус единичной сферы равен $1$. Следовательно, радиус основания описанного цилиндра также равен $1$:
$r = R = 1$.

Высота цилиндра равна диаметру сферы, то есть двум радиусам:
$h = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив значения $r$ и $h$ в формулу:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

25.15. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны. Как относятся объемы этих цилиндров?

Рассмотрим два прямых круговых цилиндра. Пусть радиус основания и образующая (которая равна высоте) первого цилиндра равны $r_1$ и $h_1$ соответственно, а второго — $r_2$ и $h_2$.

Условия, при которых два цилиндра подобны

Два тела в пространстве называются подобными, если одно из них может быть получено из другого преобразованием подобия. Для цилиндров, как и для других геометрических тел, это означает, что все их соответствующие линейные размеры пропорциональны. Основными линейными размерами, которые определяют форму цилиндра, являются радиус его основания $r$ и его образующая (высота) $h$.

Для того чтобы два цилиндра были подобны, необходимо, чтобы отношение их радиусов было равно отношению их образующих. Если $k$ — коэффициент подобия, то должны выполняться следующие равенства:

$\frac{r_2}{r_1} = \frac{h_2}{h_1} = k$

Это соотношение можно переписать в ином виде, который показывает, что для подобных цилиндров отношение радиуса к образующей (высоте) является постоянной величиной:

$\frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2}$

Таким образом, условием подобия двух цилиндров является равенство отношений их радиусов оснований к их образующим.

Ответ: Два цилиндра подобны тогда и только тогда, когда отношение радиуса основания к образующей (высоте) одного цилиндра равно отношению радиуса основания к образующей (высоте) другого цилиндра.

Как относятся объемы этих цилиндров

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Найдем отношение объемов $V_2$ и $V_1$ двух подобных цилиндров:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_2^2 h_2}{\pi r_1^2 h_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_2}{h_1}\right)$

Из условия подобия мы знаем, что отношение соответствующих линейных размеров равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{r_2}{r_1} = k$ и $\frac{h_2}{h_1} = k$

Подставим эти выражения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3$

Это означает, что отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, отношению радиусов оснований или отношению образующих).

25.16. Многоугольник, изображенный на рисунке 25.3, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой $a$, содержащей сторону, равную 2 см. Найдите объем тела вращения.

Рис. 25.3

Дано:

Многоугольник ABCDEF, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой a.

Прямая a содержит сторону AF.

Длины сторон:

$AB = 1$ см
$BC = 1$ см
$CD = 1$ см
$DE = 1$ см
$FE = 2$ см
$AF = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.01$ м
$BC = 0.01$ м
$CD = 0.01$ м
$DE = 0.01$ м
$FE = 0.02$ м
$AF = 0.02$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой a, можно рассматривать как разность объемов двух тел. Для наглядности введем систему координат, где ось вращения a совпадает с осью ординат (Oy), а точка F — с началом координат (0,0).

В этой системе координат вершины многоугольника будут иметь следующие координаты в сантиметрах: F(0, 0), A(0, 2), B(1, 2), C(1, 1), D(2, 1), E(2, 0).

Объем искомого тела вращения $V$ можно найти, вычтя из объема большого цилиндра $V_1$ объем тела $V_2$, полученного вращением "недостающей" части.

1. Найдем объем большого цилиндра $V_1$. Он образуется вращением прямоугольника со сторонами 2 см и 2 см (прямоугольник с вершинами в точках (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)) вокруг оси Oy. Высота этого цилиндра $h_1 = AF = 2$ см, а радиус основания $R_1 = FE = 2$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

$V_1 = \pi \cdot R_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 2 = 8\pi$ см$^3$.

2. Теперь найдем объем $V_2$, который нужно вычесть. Этот объем образуется вращением прямоугольника, отсутствующего в правом верхнем углу. Этот прямоугольник имеет вершины в точках (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). При вращении этого прямоугольника вокруг оси Oy образуется тело, представляющее собой полый цилиндр (трубу).

Высота этого полого цилиндра $h_2 = 2 - 1 = 1$ см. Внешний радиус $R_{внеш} = 2$ см, а внутренний радиус $R_{внутр} = 1$ см.

Объем полого цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi (R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2) h$.

$V_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) \cdot 1 = 3\pi$ см$^3$.

3. Искомый объем $V$ равен разности объемов $V_1$ и $V_2$.

$V = V_1 - V_2 = 8\pi - 3\pi = 5\pi$ см$^3$.

Переведем полученный результат в систему СИ (в кубические метры).

1 см = $10^{-2}$ м, следовательно, 1 см$^3 = (10^{-2})^3$ м$^3 = 10^{-6}$ м$^3$.

$V = 5\pi \text{ см}^3 = 5\pi \cdot 10^{-6}$ м$^3$.

Ответ: $V = 5\pi \cdot 10^{-6}$ м$^3$ (или $5\pi$ см$^3$).