Номер 25.10, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.10. Найдите объем $V$ части цилиндра, изображенной на рисунке, высекаемой из цилиндра прямым двугранным углом (рис. 25.2). Радиус основания цилиндра равен 2 см, а образующая равна 3 см.

$O_1$

$90^\circ$

$2$

$3$

$O$

Рис. 25.2

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 2$ см
Образующая (высота) цилиндра $H = 3$ см
Двугранный угол, высекающий часть цилиндра, $\alpha = 90^\circ$

Перевод в систему СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем части цилиндра $V$.

Решение:

Часть цилиндра, высекаемая двугранным углом, ось которого совпадает с осью цилиндра, называется цилиндрическим сектором. Объем такой фигуры можно найти по общей формуле для тел с постоянным поперечным сечением: объем равен произведению площади основания на высоту.

В данном случае основанием является сектор круга с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, равным данному двугранному углу $90^\circ$. Высотой является образующая цилиндра $H$.

Площадь основания (сектора круга) $S_{сектора}$ вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$.

Подставим заданные значения в сантиметрах, так как это упростит вычисления: $S_{сектора} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4 \text{ см}^2 = \pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем $V$ части цилиндра, умножив площадь основания на высоту $H$: $V = S_{сектора} \cdot H$.

$V = \pi \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3\pi \text{ см}^3$.

Другой способ решения — найти объем всего цилиндра и взять его часть, соответствующую доле сектора. Объем всего цилиндра: $V_{цилиндра} = \pi R^2 H = \pi (2 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^3$. Так как двугранный угол равен $90^\circ$, что составляет $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ от полного угла, то объем искомой части составляет $\frac{1}{4}$ от объема всего цилиндра. $V = \frac{1}{4} V_{цилиндра} = \frac{1}{4} \cdot 12\pi \text{ см}^3 = 3\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $V = 3\pi \text{ см}^3$.