Номер 25.11, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.11. В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?

Дано:

Диаметр цилиндрического сосуда, $d = 9 \text{ см}$

Высота подъема жидкости, $h = 12 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$d = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Объем детали, $V_{дет}$

Решение:

Объем детали, полностью погруженной в жидкость, равен объему вытесненной ею жидкости. Когда деталь опускают в цилиндрический сосуд, вытесненная жидкость образует дополнительный слой в форме цилиндра. Высота этого цилиндра равна высоте, на которую поднялся уровень жидкости ($h$), а площадь его основания ($S$) равна площади основания сосуда.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = S \cdot h$

Площадь основания (круга) находится по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус основания. Радиус равен половине диаметра: $r = d/2$. Таким образом, формула для объема детали приобретает вид: $V_{дет} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h$

Проведем вычисления в сантиметрах, так как это удобнее для исходных данных.

Найдем радиус основания сосуда: $r = \frac{d}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4.5 \text{ см}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для объема: $V_{дет} = \pi \cdot (4.5 \text{ см})^2 \cdot 12 \text{ см}$

$V_{дет} = \pi \cdot 20.25 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см}$

$V_{дет} = 243\pi \text{ см}^3$

Для получения численного значения можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $V_{дет} \approx 243 \cdot 3.14159 \approx 763.4 \text{ см}^3$

Ответ: объем детали равен $243\pi \text{ см}^3$ (приблизительно $763.4 \text{ см}^3$).