Номер 25.17, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.17. Многоугольник, изображенный на рисунке 25.4, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB, содержащей сторону, равную 3 см. Найдите объем тела вращения.

F 1 E
1 1
H 1 G D 1 C
1 1
A B
3

Рис. 25.4

Дано:

Многоугольник ABCDEFGH, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB.
Длины сторон:
$AB = 3$ см
$BC = 1$ см
$CD = 1$ см
$DE = 1$ см
$EF = 1$ см
$FG = 1$ см
$GH = 1$ см
$HA = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$AB = 0.03 \text{ м}$
$BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении данного многоугольника вокруг прямой AB, можно представить как сумму объемов двух тел: цилиндра и полого цилиндра. Для этого разобьем исходный многоугольник на два прямоугольника.

1. Первый прямоугольник — это основание фигуры с вершинами A, B и противолежащей стороной HC (где H и C - точки из условия, лежащие на высоте 1 см от оси AB). Его размеры $3 \times 1$ см. При вращении этого прямоугольника вокруг стороны AB образуется цилиндр.

Найдем объем этого цилиндра ($V_1$).
Радиус основания цилиндра $R_1$ равен высоте прямоугольника: $R_1 = HA = 1$ см.
Высота цилиндра $h_1$ равна длине стороны AB: $h_1 = 3$ см.
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_1 = \pi R_1^2 h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi$ см³.

2. Второй прямоугольник — это верхняя часть фигуры GDEF. Его размеры $1 \times 1$ см. Этот прямоугольник находится на расстоянии 1 см от оси вращения AB. При вращении этого прямоугольника образуется полый цилиндр (тело, ограниченное двумя соосными цилиндрическими поверхностями).

Найдем объем этого полого цилиндра ($V_2$).
Высота полого цилиндра $h_2$ равна длине стороны EF (или GD): $h_2 = 1$ см.
Внешний радиус $R_{внеш}$ равен расстоянию от оси вращения AB до самой дальней стороны EF: $R_{внеш} = HA + FG = 1 + 1 = 2$ см.
Внутренний радиус $R_{внутр}$ равен расстоянию от оси вращения AB до ближайшей стороны GD: $R_{внутр} = HA = 1$ см.
Объем полого цилиндра равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров:
$V_2 = \pi R_{внеш}^2 h_2 - \pi R_{внутр}^2 h_2 = \pi h_2 (R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2)$
$V_2 = \pi \cdot 1 \cdot (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$ см³.

3. Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:
$V = V_1 + V_2 = 3\pi + 3\pi = 6\pi$ см³.

Переведем ответ в систему СИ:
$1 \text{ см}^3 = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.
$V = 6\pi \times 10^{-6}$ м³.

Ответ: $6\pi$ см³ (или $6\pi \times 10^{-6}$ м³).