Номер 25.16, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.16. Многоугольник, изображенный на рисунке 25.3, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой $a$, содержащей сторону, равную 2 см. Найдите объем тела вращения.

Рис. 25.3

Дано:

Многоугольник ABCDEF, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой a.

Прямая a содержит сторону AF.

Длины сторон:

$AB = 1$ см
$BC = 1$ см
$CD = 1$ см
$DE = 1$ см
$FE = 2$ см
$AF = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.01$ м
$BC = 0.01$ м
$CD = 0.01$ м
$DE = 0.01$ м
$FE = 0.02$ м
$AF = 0.02$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$.

Решение:

Тело вращения, полученное при вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой a, можно рассматривать как разность объемов двух тел. Для наглядности введем систему координат, где ось вращения a совпадает с осью ординат (Oy), а точка F — с началом координат (0,0).

В этой системе координат вершины многоугольника будут иметь следующие координаты в сантиметрах: F(0, 0), A(0, 2), B(1, 2), C(1, 1), D(2, 1), E(2, 0).

Объем искомого тела вращения $V$ можно найти, вычтя из объема большого цилиндра $V_1$ объем тела $V_2$, полученного вращением "недостающей" части.

1. Найдем объем большого цилиндра $V_1$. Он образуется вращением прямоугольника со сторонами 2 см и 2 см (прямоугольник с вершинами в точках (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)) вокруг оси Oy. Высота этого цилиндра $h_1 = AF = 2$ см, а радиус основания $R_1 = FE = 2$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

$V_1 = \pi \cdot R_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 2 = 8\pi$ см$^3$.

2. Теперь найдем объем $V_2$, который нужно вычесть. Этот объем образуется вращением прямоугольника, отсутствующего в правом верхнем углу. Этот прямоугольник имеет вершины в точках (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). При вращении этого прямоугольника вокруг оси Oy образуется тело, представляющее собой полый цилиндр (трубу).

Высота этого полого цилиндра $h_2 = 2 - 1 = 1$ см. Внешний радиус $R_{внеш} = 2$ см, а внутренний радиус $R_{внутр} = 1$ см.

Объем полого цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi (R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2) h$.

$V_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) \cdot 1 = 3\pi$ см$^3$.

3. Искомый объем $V$ равен разности объемов $V_1$ и $V_2$.

$V = V_1 - V_2 = 8\pi - 3\pi = 5\pi$ см$^3$.

Переведем полученный результат в систему СИ (в кубические метры).

1 см = $10^{-2}$ м, следовательно, 1 см$^3 = (10^{-2})^3$ м$^3 = 10^{-6}$ м$^3$.

$V = 5\pi \text{ см}^3 = 5\pi \cdot 10^{-6}$ м$^3$.

Ответ: $V = 5\pi \cdot 10^{-6}$ м$^3$ (или $5\pi$ см$^3$).