Номер 25.9, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.9. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

25.10. Найдите объем $V$ части цилиндра, изображенной на рисунке

Дано:
Правильная четырехугольная призма.
$V_{опис}$ - объем цилиндра, описанного около призмы.
$V_{впис}$ - объем цилиндра, вписанного в призму.

Найти:
$\frac{V_{опис}}{V_{впис}}$

Решение:

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$, а высота призмы — $h$. Высоты как описанного, так и вписанного цилиндров будут равны высоте призмы $h$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота.

1. Найдем объем описанного цилиндра ($V_{опис}$).

Основание описанного цилиндра представляет собой окружность, описанную около квадрата, который является основанием призмы. Радиус этой окружности, $R_{опис}$, равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, радиус описанного цилиндра: $R_{опис} = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Тогда объем описанного цилиндра равен: $V_{опис} = \pi R_{опис}^2 h = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h = \frac{\pi a^2 h}{2}$.

2. Найдем объем вписанного цилиндра ($V_{впис}$).

Основание вписанного цилиндра — это окружность, вписанная в квадрат-основание призмы. Радиус этой окружности, $R_{впис}$, равен половине стороны квадрата.

Следовательно, радиус вписанного цилиндра: $R_{впис} = \frac{a}{2}$.

Тогда объем вписанного цилиндра равен: $V_{впис} = \pi R_{впис}^2 h = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{\pi a^2 h}{4}$.

3. Найдем отношение объемов.

Чтобы определить, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного, разделим $V_{опис}$ на $V_{впис}$: $\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{2}}{\frac{\pi a^2 h}{4}}$.

Сократив общие множители $\pi a^2 h$, получим: $\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{1/2}{1/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$.

Ответ: в 2 раза.