Номер 25.15, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.15. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны. Как относятся объемы этих цилиндров?

Рассмотрим два прямых круговых цилиндра. Пусть радиус основания и образующая (которая равна высоте) первого цилиндра равны $r_1$ и $h_1$ соответственно, а второго — $r_2$ и $h_2$.

Условия, при которых два цилиндра подобны

Два тела в пространстве называются подобными, если одно из них может быть получено из другого преобразованием подобия. Для цилиндров, как и для других геометрических тел, это означает, что все их соответствующие линейные размеры пропорциональны. Основными линейными размерами, которые определяют форму цилиндра, являются радиус его основания $r$ и его образующая (высота) $h$.

Для того чтобы два цилиндра были подобны, необходимо, чтобы отношение их радиусов было равно отношению их образующих. Если $k$ — коэффициент подобия, то должны выполняться следующие равенства:

$\frac{r_2}{r_1} = \frac{h_2}{h_1} = k$

Это соотношение можно переписать в ином виде, который показывает, что для подобных цилиндров отношение радиуса к образующей (высоте) является постоянной величиной:

$\frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2}$

Таким образом, условием подобия двух цилиндров является равенство отношений их радиусов оснований к их образующим.

Ответ: Два цилиндра подобны тогда и только тогда, когда отношение радиуса основания к образующей (высоте) одного цилиндра равно отношению радиуса основания к образующей (высоте) другого цилиндра.

Как относятся объемы этих цилиндров

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Найдем отношение объемов $V_2$ и $V_1$ двух подобных цилиндров:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_2^2 h_2}{\pi r_1^2 h_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_2}{h_1}\right)$

Из условия подобия мы знаем, что отношение соответствующих линейных размеров равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{r_2}{r_1} = k$ и $\frac{h_2}{h_1} = k$

Подставим эти выражения в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3$

Это означает, что отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, отношению радиусов оснований или отношению образующих).