Номер 25.13, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.13. Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник.

Сторона 1 ($a$) = 1 см

Сторона 2 ($b$) = 2 см

Перевод в СИ:

$a = 0.01$ м

$b = 0.02$ м

Найти:

Объем цилиндра ($V$).

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая – длине окружности его основания ($C = 2\pi r$).

Поскольку в условии задачи не указано, какая из сторон прямоугольника является высотой, а какая – длиной окружности основания, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1. Пусть высота цилиндра равна 1 см, а длина окружности основания равна 2 см.

В этом случае имеем:

$h_1 = 1$ см

$C_1 = 2$ см

Из формулы длины окружности $C_1 = 2\pi r_1$ найдем радиус основания $r_1$:

$r_1 = \frac{C_1}{2\pi} = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$ см.

Теперь вычислим объем цилиндра для этого случая:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} \cdot 1 = \frac{1}{\pi}$ см³.

Случай 2. Пусть высота цилиндра равна 2 см, а длина окружности основания равна 1 см.

В этом случае имеем:

$h_2 = 2$ см

$C_2 = 1$ см

Из формулы длины окружности $C_2 = 2\pi r_2$ найдем радиус основания $r_2$:

$r_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}$ см.

Вычислим объем цилиндра для этого случая:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{4\pi^2} \cdot 2 = \frac{2\pi}{4\pi^2} = \frac{1}{2\pi}$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от того, какая сторона развертки является высотой цилиндра.

Ответ: объем цилиндра равен $\frac{1}{\pi}$ см³ или $\frac{1}{2\pi}$ см³.