Номер 25.8, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.8. Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон $a$ и $b$. Как относятся объемы цилиндров?

Дано:

Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, где $a \neq b$.

Цилиндр 1 ($Ц_1$) образован вращением прямоугольника вокруг стороны $a$.

Цилиндр 2 ($Ц_2$) образован вращением прямоугольника вокруг стороны $b$.

Найти:

Отношение объемов цилиндров $\frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

1. Найдем объем первого цилиндра ($V_1$), который образован вращением прямоугольника вокруг стороны $a$.В этом случае высота цилиндра $H_1$ будет равна стороне $a$, так как вращение происходит вокруг нее. Радиус основания цилиндра $R_1$ будет равен другой стороне прямоугольника, то есть $b$.

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_1 = \pi R_1^2 H_1 = \pi b^2 a$

2. Найдем объем второго цилиндра ($V_2$), который образован вращением прямоугольника вокруг стороны $b$.В этом случае высота цилиндра $H_2$ будет равна стороне $b$, а радиус его основания $R_2$ будет равен стороне $a$.

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi a^2 b$

3. Теперь найдем, как относятся объемы этих цилиндров. Для этого разделим объем первого цилиндра на объем второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi b^2 a}{\pi a^2 b}$

Сократим в дроби общие множители $\pi$, $a$ и $b$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{b}{a}$

Таким образом, отношение объема цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $a$, к объему цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $b$, равно отношению стороны $b$ к стороне $a$.

Ответ: Объемы цилиндров относятся как $b:a$ (или $a:b$, в зависимости от порядка сравнения). Если рассматривать отношение объема цилиндра, образованного вращением вокруг стороны $a$, к объему цилиндра, образованного вращением вокруг стороны $b$, то оно равно $\frac{b}{a}$.