Номер 25.3, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.3. Одна кружка вдвое выше другой, зато вторая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?

Дано:

Имеются две кружки, которые мы для простоты будем считать идеальными цилиндрами.

Пусть $h_1, d_1, r_1, V_1$ – соответственно высота, диаметр, радиус и вместимость (объем) первой кружки.

Пусть $h_2, d_2, r_2, V_2$ – соответственно высота, диаметр, радиус и вместимость (объем) второй кружки.

Согласно условию задачи:

1. Одна кружка вдвое выше другой. Примем, что первая кружка выше второй: $h_1 = 2h_2$.

2. Вторая кружка в полтора раза шире. Ширина соответствует диаметру: $d_2 = 1.5d_1$. Так как радиус $r$ равен половине диаметра $d$, то соотношение радиусов будет таким же: $r_2 = 1.5r_1$.

Найти:

Какая кружка вместительнее, то есть необходимо сравнить их объемы $V_1$ и $V_2$.

Решение:

Вместимость кружки определяется ее объемом. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота.

Запишем формулы для объемов каждой кружки:

Объем первой кружки: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$.

Объем второй кружки: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$.

Теперь воспользуемся соотношениями из условия задачи, чтобы выразить объемы через одни и те же параметры, например, через $r_1$ и $h_2$.

Подставим $h_1 = 2h_2$ в формулу для $V_1$:

$V_1 = \pi r_1^2 (2h_2) = 2\pi r_1^2 h_2$

Подставим $r_2 = 1.5r_1$ в формулу для $V_2$:

$V_2 = \pi (1.5r_1)^2 h_2 = \pi (1.5^2 r_1^2) h_2 = \pi (2.25 r_1^2) h_2 = 2.25\pi r_1^2 h_2$

Теперь у нас есть выражения для объемов обеих кружек, которые можно сравнить:

$V_1 = 2 \cdot (\pi r_1^2 h_2)$

$V_2 = 2.25 \cdot (\pi r_1^2 h_2)$

Так как множитель $2.25$ больше, чем $2$, то и объем второй кружки больше объема первой: $V_2 > V_1$.

Чтобы узнать, насколько вторая кружка вместительнее, найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{2.25\pi r_1^2 h_2}{2\pi r_1^2 h_2} = \frac{2.25}{2} = 1.125$

Таким образом, объем второй кружки в $1.125$ раза (или на $12.5\%$) больше объема первой.

Ответ:

Вторая кружка, которая ниже, но шире, является более вместительной.