Номер 24.21, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.21. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению ее бокового ребра на площадь сечения плоскостью, перпендикулярной этому ребру и пересекающей все ребра этой призмы (рис. 24.14).

Рис. 24.14

Решение

Пусть дана наклонная $n$-угольная призма. Обозначим ее объем через $V$, длину бокового ребра через $l$, площадь основания через $S_{осн}$, а высоту призмы (перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований) через $H$.

Объем любой призмы, в том числе и наклонной, вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H$

Пусть $\gamma$ — это острый угол между боковым ребром и плоскостью основания. Тогда высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ следующим соотношением:

$H = l \cdot \sin \gamma$

Подставим это выражение для высоты в формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot l \cdot \sin \gamma$

Теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. Обозначим площадь этого перпендикулярного сечения через $S_{перп}$.

Согласно теореме о площади ортогональной проекции многоугольника, площадь проекции равна произведению площади исходного многоугольника на косинус угла между их плоскостями. В нашем случае, перпендикулярное сечение можно рассматривать как ортогональную проекцию основания призмы на плоскость, перпендикулярную боковым ребрам.

Пусть $\theta$ — угол между плоскостью основания и плоскостью перпендикулярного сечения. Тогда:

$S_{перп} = S_{осн} \cdot \cos \theta$

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Нормалью к плоскости основания является прямая, параллельная высоте призмы $H$. Нормалью к плоскости перпендикулярного сечения является прямая, параллельная боковому ребру $l$. Следовательно, $\theta$ — это угол между направлением бокового ребра и направлением высоты.

Угол $\gamma$ (между боковым ребром и плоскостью основания) является дополнением угла $\theta$ до $90^\circ$, так как боковое ребро, его проекция на плоскость основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Таким образом:

$\theta = 90^\circ - \gamma$

Отсюда следует, что:

$\cos \theta = \cos(90^\circ - \gamma) = \sin \gamma$

Подставим это в формулу, связывающую площади основания и перпендикулярного сечения:

$S_{перп} = S_{осн} \cdot \sin \gamma$

Теперь вернемся к нашей формуле для объема: $V = S_{осн} \cdot l \cdot \sin \gamma$. Сгруппируем множители:

$V = (S_{осн} \cdot \sin \gamma) \cdot l$

Заменяя выражение в скобках на $S_{перп}$, мы получаем итоговое равенство:

$V = S_{перп} \cdot l$

Таким образом, доказано, что объем наклонной призмы равен произведению ее бокового ребра на площадь сечения, перпендикулярного этому ребру.

Ответ: Утверждение доказано. Объем наклонной призмы $V$ равен произведению длины бокового ребра $l$ на площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$: $V = l \cdot S_{перп}$.