Номер 24.15, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.15. В пространстве даны три параллелепипеда. Как провести плоскость, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две равновеликие части?

Решение

Свойство, которое является ключом к решению этой задачи, связано с симметрией параллелепипеда. Любой параллелепипед — это центрально-симметричная фигура. Его центр симметрии находится в точке пересечения его пространственных диагоналей.

Для любого центрально-симметричного тела верно, что любая плоскость, проходящая через его центр симметрии, делит это тело на две части равного объема (то есть на две равновеликие части). Это объясняется тем, что для любой точки фигуры, находящейся по одну сторону от плоскости, симметричная ей относительно центра точка будет находиться по другую сторону от плоскости. Таким образом, объемы частей тела по обе стороны от плоскости будут равны.

В нашей задаче даны три параллелепипеда. Чтобы искомая плоскость делила каждый из них на две равновеликие части, она должна одновременно пройти через центры симметрии всех трех параллелепипедов.

Обозначим центры симметрии трех параллелепипедов как точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$. Алгоритм построения плоскости заключается в том, чтобы провести ее через эти три точки. При этом возможны два сценария:

1. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны). В этом случае, согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Эта плоскость и будет единственным решением задачи.

2. Точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ лежат на одной прямой (коллинеарны), или некоторые из них (или все три) совпадают. В этом случае через прямую, на которой лежат эти точки, можно провести бесконечное множество плоскостей. Любая из этих плоскостей будет проходить через центры всех трех параллелепипедов и, следовательно, будет делить каждый из них пополам. В такой ситуации задача имеет бесконечное число решений.

Таким образом, для решения задачи нужно выполнить следующие действия:

- Для каждого из трех параллелепипедов найти его центр симметрии (точку пересечения диагоналей).

- Провести плоскость через три найденные точки.

Ответ:Нужно найти центры симметрии каждого из трех параллелепипедов, которые являются точками пересечения их диагоналей. Искомая плоскость — это плоскость, проходящая через эти три центра. Если центры лежат на одной прямой, то решением является любая плоскость, проходящая через эту прямую.