Номер 24.9, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.9. Объем четырехугольной призмы равен 10 $cm^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.5).

Рис. 24.5

Дано:

Объем исходной четырехугольной призмы $V_1 = 10 \text{ см}^3$.

Вершины второй призмы являются серединами сторон оснований исходной призмы.

Найти:

Объем второй призмы $V_2$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть объем исходной призмы равен $V_1$, площадь ее основания — $S_1$, а высота — $h$. Тогда $V_1 = S_1 \cdot h$.

У новой призмы, вершины оснований которой являются серединами сторон оснований исходной призмы, высота будет такой же, так как ее основания лежат в тех же плоскостях, что и основания исходной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_2$, а площадь ее основания как $S_2$.

Тогда объем новой призмы равен $V_2 = S_2 \cdot h$.

Отношение объемов двух призм с одинаковой высотой равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Найдем соотношение между площадью основания исходной призмы ($S_1$) и площадью основания новой призмы ($S_2$).

Пусть основанием исходной призмы является произвольный четырехугольник $ABCD$ с площадью $S_1 = S_{ABCD}$. Основанием новой призмы является четырехугольник, вершины которого — середины сторон четырехугольника $ABCD$.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем это. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Площадь четырехугольника $KLMN$ ($S_2$) можно найти, вычтя из площади $ABCD$ ($S_1$) площади четырех угловых треугольников: $\Delta AKN, \Delta BKL, \Delta CML, \Delta DNM$.

Проведем диагональ $AC$. В $\Delta ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. Следовательно, $\Delta BKL$ подобен $\Delta BAC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$S_{\Delta BKL} = (\frac{1}{2})^2 S_{\Delta BAC} = \frac{1}{4} S_{\Delta BAC}$

Аналогично, в $\Delta ADC$ отрезок $NM$ является средней линией, и $S_{\Delta DNM} = \frac{1}{4} S_{\Delta DAC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников:

$S_{\Delta BKL} + S_{\Delta DNM} = \frac{1}{4} S_{\Delta BAC} + \frac{1}{4} S_{\Delta DAC} = \frac{1}{4} (S_{\Delta BAC} + S_{\Delta DAC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} S_1$.

Точно так же, проведя диагональ $BD$, получим, что сумма площадей двух других угловых треугольников $S_{\Delta AKN} + S_{\Delta CML} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} S_1$.

Суммарная площадь всех четырех угловых треугольников равна $\frac{1}{4} S_1 + \frac{1}{4} S_1 = \frac{1}{2} S_1$.

Тогда площадь основания новой призмы $S_2$ равна:

$S_2 = S_1 - (\text{сумма площадей угловых треугольников}) = S_1 - \frac{1}{2} S_1 = \frac{1}{2} S_1$.

Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы.

Теперь найдем объем новой призмы $V_2$:

$V_2 = S_2 \cdot h = \left(\frac{1}{2} S_1\right) \cdot h = \frac{1}{2} (S_1 \cdot h) = \frac{1}{2} V_1$.

Подставим известное значение $V_1 = 10 \text{ см}^3$:

$V_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$.

Ответ: $5 \text{ см}^3$.