Страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.5. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 1 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание параллелепипеда — ромб.

Сторона ромба: $a = 1 \text{ см}$.

Острый угол ромба: $\alpha = 60^\circ$.

Боковое ребро параллелепипеда: $l = 1 \text{ см}$.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания: $\beta = 60^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Сначала найдем площадь основания. Так как основанием является ромб, его площадь можно вычислить по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin 60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

Далее определим высоту параллелепипеда $H$. Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего. Высоту можно найти через длину бокового ребра $l$ и угол $\beta$, который это ребро составляет с плоскостью основания, по формуле $H = l \cdot \sin \beta$.

Подставим значения из условия задачи:

$H = 1 \cdot \sin 60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Теперь, имея площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \text{ см}^3$.

Объем параллелепипеда равен $0.75 \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{3}{4} \text{ см}^3$.

24.6. Найдите высоту правильной треугольной призмы, если сторона ее основания 20 см и объем 4800 $cm^3$.

Дано:

Правильная треугольная призма

Сторона основания $a = 20$ см

Объем $V = 4800$ см³

Найти:

Высоту призмы $H$.

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле произведения площади ее основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot H$

Из этой формулы мы можем выразить высоту $H$:

$H = \frac{V}{S_{осн}}$

Поскольку призма правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим известное значение стороны основания $a = 20$ см в формулу площади:

$S_{осн} = \frac{20^2\sqrt{3}}{4} = \frac{400\sqrt{3}}{4} = 100\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная объем призмы и площадь ее основания, можем найти высоту:

$H = \frac{4800 \text{ см}^3}{100\sqrt{3} \text{ см}^2} = \frac{48}{\sqrt{3}}$ см.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см.

24.7. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру (рис. 24.3). В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

Рис. 24.3

Дано:

Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через среднюю линию основания (например, $\triangle ABC$).
Плоскость $\alpha$ параллельна боковому ребру призмы (например, $AA_1$).

Найти:

Отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ делит призму.

Решение:

Пусть дана произвольная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. В нашем случае $S_{осн} = S_{ABC}$.

Проведем в основании $ABC$ среднюю линию. Пусть точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Через прямую $MN$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная боковому ребру, например, $CC_1$. Так как все боковые ребра призмы параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$), то плоскость $\alpha$ будет параллельна всем боковым ребрам.

Построим сечение призмы этой плоскостью. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна ребру $CC_1$, значит, она пересекает грань $ACC_1A_1$ по прямой $MM_1$, параллельной $CC_1$, где точка $M_1$ лежит на ребре $A_1C_1$. Аналогично, плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $NN_1$, параллельной $CC_1$, где точка $N_1$ лежит на ребре $B_1C_1$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $M_1$ и $N_1$ будут серединами сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Сечением призмы является четырехугольник $MNN_1M_1$.

Эта плоскость делит исходную призму на два многогранника:

1. Треугольную призму $MNC-M_1N_1C_1$. Основаниями этой призмы являются треугольники $MNC$ и $M_1N_1C_1$, а боковые ребра — $MM_1$, $NN_1$ и $CC_1$.

2. Пятиугольную призму $ABNM-A_1B_1N_1M_1$.

Найдем объем меньшей призмы $V_1 = V_{MNC-M_1N_1C_1}$. Ее высота совпадает с высотой исходной призмы $h$, так как их основания лежат в одних и тех же плоскостях. Площадь ее основания $S_1 = S_{MNC}$.

Треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними ($\angle C$ — общий, $CM = \frac{1}{2}CA$, $CN = \frac{1}{2}CB$). Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_1 = S_{MNC} = k^2 \cdot S_{ABC} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Теперь можем найти объем меньшей призмы: $V_1 = S_1 \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{4} V$.

Объем второй, большей части $V_2$ равен разности объемов исходной призмы и меньшей части: $V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{4} V = \frac{3}{4} V$.

Найдем отношение, в котором плоскость делит объем призмы: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4}V}{\frac{3}{4}V} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, секущая плоскость делит объем призмы в отношении $1:3$.

Ответ: $1:3$.

24.8. Объем треугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.4).

Рис. 24.4

Дано:

Объем исходной треугольной призмы $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$.

$V_{исх} = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы ($V_{нов}$).

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_{исх}$ — объем исходной призмы, $S_{исх}$ — площадь ее основания, а $h$ — ее высота. Согласно условию:

$V_{исх} = S_{исх} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Новая призма, объем которой ($V_{нов}$) нужно найти, имеет такую же высоту $h$, как и исходная, поскольку их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях.

Основанием новой призмы является треугольник, вершины которого являются серединами сторон основания исходной призмы. Такой треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника, называется срединным треугольником.

Ключевое свойство срединного треугольника заключается в том, что он подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади основания новой призмы ($S_{нов}$) к площади основания исходной призмы ($S_{исх}$) равно:

$\frac{S_{нов}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем, что площадь основания новой призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы:

$S_{нов} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы:

$V_{нов} = S_{нов} \cdot h = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot h)$.

Так как выражение в скобках равно объему исходной призмы ($V_{исх}$), то:

$V_{нов} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим данное в условии значение $V_{исх}$:

$V_{нов} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

24.9. Объем четырехугольной призмы равен 10 $cm^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.5).

Рис. 24.5

Дано:

Объем исходной четырехугольной призмы $V_1 = 10 \text{ см}^3$.

Вершины второй призмы являются серединами сторон оснований исходной призмы.

Найти:

Объем второй призмы $V_2$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть объем исходной призмы равен $V_1$, площадь ее основания — $S_1$, а высота — $h$. Тогда $V_1 = S_1 \cdot h$.

У новой призмы, вершины оснований которой являются серединами сторон оснований исходной призмы, высота будет такой же, так как ее основания лежат в тех же плоскостях, что и основания исходной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_2$, а площадь ее основания как $S_2$.

Тогда объем новой призмы равен $V_2 = S_2 \cdot h$.

Отношение объемов двух призм с одинаковой высотой равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Найдем соотношение между площадью основания исходной призмы ($S_1$) и площадью основания новой призмы ($S_2$).

Пусть основанием исходной призмы является произвольный четырехугольник $ABCD$ с площадью $S_1 = S_{ABCD}$. Основанием новой призмы является четырехугольник, вершины которого — середины сторон четырехугольника $ABCD$.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем это. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Площадь четырехугольника $KLMN$ ($S_2$) можно найти, вычтя из площади $ABCD$ ($S_1$) площади четырех угловых треугольников: $\Delta AKN, \Delta BKL, \Delta CML, \Delta DNM$.

Проведем диагональ $AC$. В $\Delta ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. Следовательно, $\Delta BKL$ подобен $\Delta BAC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$S_{\Delta BKL} = (\frac{1}{2})^2 S_{\Delta BAC} = \frac{1}{4} S_{\Delta BAC}$

Аналогично, в $\Delta ADC$ отрезок $NM$ является средней линией, и $S_{\Delta DNM} = \frac{1}{4} S_{\Delta DAC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников:

$S_{\Delta BKL} + S_{\Delta DNM} = \frac{1}{4} S_{\Delta BAC} + \frac{1}{4} S_{\Delta DAC} = \frac{1}{4} (S_{\Delta BAC} + S_{\Delta DAC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} S_1$.

Точно так же, проведя диагональ $BD$, получим, что сумма площадей двух других угловых треугольников $S_{\Delta AKN} + S_{\Delta CML} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} S_1$.

Суммарная площадь всех четырех угловых треугольников равна $\frac{1}{4} S_1 + \frac{1}{4} S_1 = \frac{1}{2} S_1$.

Тогда площадь основания новой призмы $S_2$ равна:

$S_2 = S_1 - (\text{сумма площадей угловых треугольников}) = S_1 - \frac{1}{2} S_1 = \frac{1}{2} S_1$.

Таким образом, площадь основания новой призмы в два раза меньше площади основания исходной призмы.

Теперь найдем объем новой призмы $V_2$:

$V_2 = S_2 \cdot h = \left(\frac{1}{2} S_1\right) \cdot h = \frac{1}{2} (S_1 \cdot h) = \frac{1}{2} V_1$.

Подставим известное значение $V_1 = 10 \text{ см}^3$:

$V_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$.

Ответ: $5 \text{ см}^3$.

24.10. Объем правильной шестиугольной призмы равен 12 см³. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.6).

Рис. 24.6

Дано:

$V_1 = 12 \text{ см}^3$ - объем правильной шестиугольной призмы.
Вершины оснований второй призмы являются серединами сторон оснований первой призмы.

Найти:

$V_2$ - объем второй призмы.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_1$ и $S_1$ — объем и площадь основания исходной (большой) призмы, а $V_2$ и $S_2$ — объем и площадь основания новой (малой) призмы.

Поскольку основания обеих призм лежат в одних и тех же плоскостях, их высоты равны. Обозначим высоту как $h$. Тогда: $V_1 = S_1 \cdot h$ $V_2 = S_2 \cdot h$

Чтобы найти $V_2$, найдем отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$ Отсюда $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению отношения площадей оснований двух призм. Основаниями являются правильные шестиугольники. Основание малой призмы вписано в основание большой так, что его вершины являются серединами сторон большого шестиугольника.

Пусть сторона большого правильного шестиугольника равна $a_1$. Его площадь $S_1$ равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a_1$: $S_1 = 6 \cdot \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a_1^2 \sqrt{3}}{2}$

Найдем сторону $a_2$ малого шестиугольника. Рассмотрим большой шестиугольник. Его можно представить как фигуру с центром $O$. Расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника $a_1$. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a_1$, то есть $\frac{a_1\sqrt{3}}{2}$.

Вершины малого шестиугольника являются серединами сторон большого. Расстояние от центра $O$ до вершин малого шестиугольника как раз равно апофеме большого шестиугольника. Для правильного шестиугольника расстояние от центра до вершины равно его стороне. Следовательно, сторона малого шестиугольника $a_2$ равна: $a_2 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем площадь малого шестиугольника $S_2$: $S_2 = \frac{3a_2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (\frac{a_1\sqrt{3}}{2})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{3a_1^2}{4} \sqrt{3}}{2} = \frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{8}$

Найдем отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{8}}{\frac{3a_1^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Отношение площадей оснований равно $\frac{3}{4}$. Так как высоты призм равны, отношение их объемов также равно $\frac{3}{4}$. $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \text{ см}^3 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: $9 \text{ см}^3$.

24.11. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных призм, при которых эти призмы подобны. Как относятся объемы этих призм?

Условия подобия двух правильных n-угольных призм

Рассмотрим две правильные n-угольные призмы. Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Боковые ребра такой призмы перпендикулярны основаниям, и их длина равна высоте призмы.

Пусть у первой призмы сторона основания равна $a_1$, а боковое ребро (высота) равно $h_1$.

Пусть у второй призмы сторона основания равна $a_2$, а боковое ребро (высота) равно $h_2$.

Два тела в пространстве (многогранника) называются подобными, если одно может быть получено из другого преобразованием подобия. Это означает, что существует такое число $k > 0$ (коэффициент подобия), что все расстояния между соответствующими точками тел относятся как $k$. Как следствие, все соответствующие линейные размеры (ребра, высоты, диагонали) подобных тел пропорциональны с коэффициентом $k$.

Основаниями данных призм являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны. Коэффициент подобия их оснований равен отношению длин их сторон, то есть $a_2/a_1$.

Для того чтобы сами призмы были подобны, необходимо, чтобы отношение их других соответствующих линейных размеров, в данном случае высот (боковых ребер), было таким же.

Следовательно, условие подобия двух правильных n-угольных призм заключается в пропорциональности их сторон оснований и боковых ребер:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Это равенство можно переписать в виде $\frac{h_1}{a_1} = \frac{h_2}{a_2}$. Это означает, что для подобия двух правильных n-угольных призм необходимо и достаточно, чтобы у них было одинаковое отношение высоты к стороне основания.

Ответ: Две правильные n-угольные призмы подобны тогда и только тогда, когда отношение их бокового ребра к стороне основания является одинаковым для обеих призм.

Отношение объемов подобных призм

Пусть две правильные n-угольные призмы подобны с коэффициентом подобия $k$. Из условия подобия следует:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Объем первой призмы: $V_1 = S_1 \cdot h_1$, где $S_1$ — площадь ее основания.

Объем второй призмы: $V_2 = S_2 \cdot h_2$, где $S_2$ — площадь ее основания.

Найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h_2}{S_1 \cdot h_1} = \frac{S_2}{S_1} \cdot \frac{h_2}{h_1}$

Основания призм — это подобные правильные n-угольники с коэффициентом подобия $k$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_2}{a_1})^2 = k^2$

Отношение высот призм по определению коэффициента подобия также равно $k$:

$\frac{h_2}{h_1} = k$

Подставляя полученные выражения для отношений площадей и высот в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных призм равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению соответствующих линейных размеров призм (например, отношению сторон оснований или отношению боковых ребер).