Номер 24.10, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.10. Объем правильной шестиугольной призмы равен 12 см³. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.6).

Рис. 24.6

Дано:

$V_1 = 12 \text{ см}^3$ - объем правильной шестиугольной призмы.
Вершины оснований второй призмы являются серединами сторон оснований первой призмы.

Найти:

$V_2$ - объем второй призмы.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_1$ и $S_1$ — объем и площадь основания исходной (большой) призмы, а $V_2$ и $S_2$ — объем и площадь основания новой (малой) призмы.

Поскольку основания обеих призм лежат в одних и тех же плоскостях, их высоты равны. Обозначим высоту как $h$. Тогда: $V_1 = S_1 \cdot h$ $V_2 = S_2 \cdot h$

Чтобы найти $V_2$, найдем отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$ Отсюда $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению отношения площадей оснований двух призм. Основаниями являются правильные шестиугольники. Основание малой призмы вписано в основание большой так, что его вершины являются серединами сторон большого шестиугольника.

Пусть сторона большого правильного шестиугольника равна $a_1$. Его площадь $S_1$ равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a_1$: $S_1 = 6 \cdot \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a_1^2 \sqrt{3}}{2}$

Найдем сторону $a_2$ малого шестиугольника. Рассмотрим большой шестиугольник. Его можно представить как фигуру с центром $O$. Расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника $a_1$. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a_1$, то есть $\frac{a_1\sqrt{3}}{2}$.

Вершины малого шестиугольника являются серединами сторон большого. Расстояние от центра $O$ до вершин малого шестиугольника как раз равно апофеме большого шестиугольника. Для правильного шестиугольника расстояние от центра до вершины равно его стороне. Следовательно, сторона малого шестиугольника $a_2$ равна: $a_2 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем площадь малого шестиугольника $S_2$: $S_2 = \frac{3a_2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (\frac{a_1\sqrt{3}}{2})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{3a_1^2}{4} \sqrt{3}}{2} = \frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{8}$

Найдем отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9a_1^2 \sqrt{3}}{8}}{\frac{3a_1^2 \sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

Отношение площадей оснований равно $\frac{3}{4}$. Так как высоты призм равны, отношение их объемов также равно $\frac{3}{4}$. $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \text{ см}^3 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: $9 \text{ см}^3$.