Номер 24.11, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.11. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных призм, при которых эти призмы подобны. Как относятся объемы этих призм?

Условия подобия двух правильных n-угольных призм

Рассмотрим две правильные n-угольные призмы. Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Боковые ребра такой призмы перпендикулярны основаниям, и их длина равна высоте призмы.

Пусть у первой призмы сторона основания равна $a_1$, а боковое ребро (высота) равно $h_1$.

Пусть у второй призмы сторона основания равна $a_2$, а боковое ребро (высота) равно $h_2$.

Два тела в пространстве (многогранника) называются подобными, если одно может быть получено из другого преобразованием подобия. Это означает, что существует такое число $k > 0$ (коэффициент подобия), что все расстояния между соответствующими точками тел относятся как $k$. Как следствие, все соответствующие линейные размеры (ребра, высоты, диагонали) подобных тел пропорциональны с коэффициентом $k$.

Основаниями данных призм являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны. Коэффициент подобия их оснований равен отношению длин их сторон, то есть $a_2/a_1$.

Для того чтобы сами призмы были подобны, необходимо, чтобы отношение их других соответствующих линейных размеров, в данном случае высот (боковых ребер), было таким же.

Следовательно, условие подобия двух правильных n-угольных призм заключается в пропорциональности их сторон оснований и боковых ребер:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Это равенство можно переписать в виде $\frac{h_1}{a_1} = \frac{h_2}{a_2}$. Это означает, что для подобия двух правильных n-угольных призм необходимо и достаточно, чтобы у них было одинаковое отношение высоты к стороне основания.

Ответ: Две правильные n-угольные призмы подобны тогда и только тогда, когда отношение их бокового ребра к стороне основания является одинаковым для обеих призм.

Отношение объемов подобных призм

Пусть две правильные n-угольные призмы подобны с коэффициентом подобия $k$. Из условия подобия следует:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Объем первой призмы: $V_1 = S_1 \cdot h_1$, где $S_1$ — площадь ее основания.

Объем второй призмы: $V_2 = S_2 \cdot h_2$, где $S_2$ — площадь ее основания.

Найдем отношение их объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h_2}{S_1 \cdot h_1} = \frac{S_2}{S_1} \cdot \frac{h_2}{h_1}$

Основания призм — это подобные правильные n-угольники с коэффициентом подобия $k$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{a_2}{a_1})^2 = k^2$

Отношение высот призм по определению коэффициента подобия также равно $k$:

$\frac{h_2}{h_1} = k$

Подставляя полученные выражения для отношений площадей и высот в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных призм равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению соответствующих линейных размеров призм (например, отношению сторон оснований или отношению боковых ребер).