Номер 24.8, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.8. Объем треугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы (рис. 24.4).

Рис. 24.4

Дано:

Объем исходной треугольной призмы $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$.

$V_{исх} = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы ($V_{нов}$).

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть $V_{исх}$ — объем исходной призмы, $S_{исх}$ — площадь ее основания, а $h$ — ее высота. Согласно условию:

$V_{исх} = S_{исх} \cdot h = 12 \text{ см}^3$.

Новая призма, объем которой ($V_{нов}$) нужно найти, имеет такую же высоту $h$, как и исходная, поскольку их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях.

Основанием новой призмы является треугольник, вершины которого являются серединами сторон основания исходной призмы. Такой треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника, называется срединным треугольником.

Ключевое свойство срединного треугольника заключается в том, что он подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади основания новой призмы ($S_{нов}$) к площади основания исходной призмы ($S_{исх}$) равно:

$\frac{S_{нов}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем, что площадь основания новой призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы:

$S_{нов} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь мы можем вычислить объем новой призмы:

$V_{нов} = S_{нов} \cdot h = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot h)$.

Так как выражение в скобках равно объему исходной призмы ($V_{исх}$), то:

$V_{нов} = \frac{1}{4} V_{исх}$.

Подставим данное в условии значение $V_{исх}$:

$V_{нов} = \frac{1}{4} \cdot 12 \text{ см}^3 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.