Номер 24.7, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.7. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру (рис. 24.3). В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

Рис. 24.3

Дано:

Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Секущая плоскость $\alpha$ проходит через среднюю линию основания (например, $\triangle ABC$).
Плоскость $\alpha$ параллельна боковому ребру призмы (например, $AA_1$).

Найти:

Отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ делит призму.

Решение:

Пусть дана произвольная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. В нашем случае $S_{осн} = S_{ABC}$.

Проведем в основании $ABC$ среднюю линию. Пусть точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Через прямую $MN$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная боковому ребру, например, $CC_1$. Так как все боковые ребра призмы параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$), то плоскость $\alpha$ будет параллельна всем боковым ребрам.

Построим сечение призмы этой плоскостью. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна ребру $CC_1$, значит, она пересекает грань $ACC_1A_1$ по прямой $MM_1$, параллельной $CC_1$, где точка $M_1$ лежит на ребре $A_1C_1$. Аналогично, плоскость $\alpha$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $NN_1$, параллельной $CC_1$, где точка $N_1$ лежит на ребре $B_1C_1$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $M_1$ и $N_1$ будут серединами сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Сечением призмы является четырехугольник $MNN_1M_1$.

Эта плоскость делит исходную призму на два многогранника:

1. Треугольную призму $MNC-M_1N_1C_1$. Основаниями этой призмы являются треугольники $MNC$ и $M_1N_1C_1$, а боковые ребра — $MM_1$, $NN_1$ и $CC_1$.

2. Пятиугольную призму $ABNM-A_1B_1N_1M_1$.

Найдем объем меньшей призмы $V_1 = V_{MNC-M_1N_1C_1}$. Ее высота совпадает с высотой исходной призмы $h$, так как их основания лежат в одних и тех же плоскостях. Площадь ее основания $S_1 = S_{MNC}$.

Треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними ($\angle C$ — общий, $CM = \frac{1}{2}CA$, $CN = \frac{1}{2}CB$). Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $S_1 = S_{MNC} = k^2 \cdot S_{ABC} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Теперь можем найти объем меньшей призмы: $V_1 = S_1 \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{4} V$.

Объем второй, большей части $V_2$ равен разности объемов исходной призмы и меньшей части: $V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{4} V = \frac{3}{4} V$.

Найдем отношение, в котором плоскость делит объем призмы: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{4}V}{\frac{3}{4}V} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, секущая плоскость делит объем призмы в отношении $1:3$.

Ответ: $1:3$.