Вопросы, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как формулируется принцип Кавальери?

2. Как вычисляется объем призмы?

Как формулируется принцип Кавальери?

Принцип Кавальери, также известный как метод неделимых, является фундаментальным утверждением в геометрии, которое позволяет вычислять и сравнивать объемы (или площади) фигур. Он был сформулирован итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в XVII веке и послужил одним из предшественников интегрального исчисления.

Формулировка принципа для трехмерных тел (объемов) звучит следующим образом: Если два тела могут быть расположены таким образом, что любая плоскость, параллельная некоторой заданной плоскости, пересекает оба тела по фигурам с равными площадями, то объемы этих двух тел равны.

Иными словами, если мы можем "нарезать" два тела на бесконечно тонкие параллельные слои, и площадь каждого слоя одного тела равна площади соответствующего ему по высоте слоя другого тела, то и полные объемы тел будут одинаковы. Этот принцип позволяет, например, доказать, что объем наклонной призмы равен объему прямой призмы с той же площадью основания и высотой.

Ответ: Принцип Кавальери формулируется так: если два тела таковы, что площади их сечений, параллельных некоторой плоскости, равны на любом расстоянии от этой плоскости, то объемы этих тел равны.

2. Как вычисляется объем призмы?

Объем призмы, как прямой, так и наклонной, вычисляется по одной и той же общей формуле. Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

Математически это выражается следующей формулой:

$V = S_{осн} \cdot h$

В этой формуле:

$V$ — это искомый объем призмы;
$S_{осн}$ — это площадь многоугольника, который является основанием призмы (например, площадь треугольника, квадрата, шестиугольника и т.д.);
$h$ — это высота призмы.

Важно правильно понимать, что такое высота призмы. Высота ($h$) — это перпендикулярное расстояние между плоскостями, в которых лежат основания призмы. Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, высота равна длине бокового ребра. Для наклонной призмы высота не равна длине бокового ребра, а является длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого.

Ответ: Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.