Номер 23.26, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.26. Найдите объем куба, вписанного в сферу радиусом 1см (рис. 23.14).

Рис. 23.14

Дано:

Радиус сферы, в которую вписан куб, $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Когда куб вписан в сферу, все его восемь вершин касаются внутренней поверхности сферы. Это означает, что главная диагональ куба (отрезок, соединяющий две наиболее удаленные друг от друга вершины) совпадает с диаметром сферы.

Пусть $a$ — длина ребра куба.Главная диагональ куба $d$ связана с длиной его ребра $a$ соотношением, которое можно найти с помощью теоремы Пифагора. Сначала найдем диагональ $d_f$ одной из граней куба:

$d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $a$, диагональю грани $d_f$ и главной диагональю куба $d$. Главная диагональ $d$ будет гипотенузой:

$d^2 = a^2 + d_f^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Отсюда $d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр сферы $D$ равен двум ее радиусам $R$:

$D = 2R = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Так как главная диагональ куба равна диаметру описанной сферы, мы можем приравнять их значения:

$d = D$

$a\sqrt{3} = 2$

Теперь выразим сторону куба $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение $a$:

$V = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$ см$^3$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{8}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{8\sqrt{3}}{9}$ см$^3$

Ответ: $V = \frac{8\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.