Номер 23.27, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.27. Докажите, что любая плоскость, проходящая через центр куба, делит его на две равновеликие части.

Решение

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством центральной симметрии куба.

Центром куба является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O$. Куб является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра $O$. Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей кубу, точка $M'$, симметричная ей относительно центра $O$ (то есть точка, для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$), также принадлежит кубу.

Пусть $\alpha$ — это произвольная плоскость, проходящая через центр куба $O$. Эта плоскость делит куб на две части, которые мы назовем $V_1$ и $V_2$.

Рассмотрим преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$. Обозначим это преобразование $S_O$.

Преобразование $S_O$ отображает куб сам на себя. Также оно отображает плоскость $\alpha$ саму на себя, поскольку плоскость $\alpha$ проходит через центр симметрии $O$.

Теперь покажем, что преобразование $S_O$ отображает часть $V_1$ на часть $V_2$.
Возьмем любую точку $P$, принадлежащую части $V_1$. По определению, точка $P$ лежит с одной стороны от плоскости $\alpha$. Ее симметричный образ $P' = S_O(P)$ лежит на прямой $PO$ на таком же расстоянии от $O$, но с противоположной стороны. Следовательно, точка $P'$ лежит по другую сторону от плоскости $\alpha$. Поскольку исходная точка $P$ принадлежала кубу, ее образ $P'$ также принадлежит кубу. Значит, точка $P'$ принадлежит части $V_2$.

Таким образом, каждой точке из части $V_1$ соответствует единственная точка из части $V_2$, и наоборот. Это означает, что преобразование центральной симметрии $S_O$ полностью отображает тело $V_1$ на тело $V_2$.

Центральная симметрия является движением (изометрией) в пространстве. Любое движение сохраняет объемы геометрических тел. Поскольку тело $V_2$ является образом тела $V_1$ при движении, их объемы равны.

Объем($V_1$) = Объем($V_2$)

Следовательно, части $V_1$ и $V_2$ являются равновеликими, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как куб является центрально-симметричной фигурой, любая плоскость, проходящая через его центр симметрии, делит куб на две части, которые симметричны друг другу относительно этого центра. Центральная симметрия является движением и сохраняет объем, поэтому полученные части имеют равные объемы (равновелики).