Номер 23.21, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.21. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 $см^3$.

Определите ребро куба.

Дано:

Увеличение длины ребра куба $\Delta a = 2$ см

Увеличение объема куба $\Delta V = 98$ см³

Перевод в систему СИ:
$\Delta a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$\Delta V = 98 \text{ см}³ = 98 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 98 \cdot 10^{-6} \text{ м}³ = 9.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}³$

Найти:

$a$ - первоначальная длина ребра куба.

Решение:

Пусть $a$ — первоначальная длина ребра куба в сантиметрах. Тогда его первоначальный объем $V_1$ равен:

$V_1 = a^3$

После увеличения каждого ребра на 2 см, новая длина ребра стала $(a + 2)$ см. Новый объем куба $V_2$ вычисляется по формуле:

$V_2 = (a + 2)^3$

По условию задачи, объем увеличился на 98 см³. Это означает, что разница между новым и первоначальным объемом составляет 98 см³:

$V_2 - V_1 = \Delta V$

Подставим выражения для объемов в это уравнение:

$(a + 2)^3 - a^3 = 98$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$ (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3) - a^3 = 98$

Упростим полученное выражение:

$a^3 + 6a^2 + 12a + 8 - a^3 = 98$

$6a^2 + 12a + 8 = 98$

Перенесем константу из правой части в левую, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6a^2 + 12a + 8 - 98 = 0$

$6a^2 + 12a - 90 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 6:

$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Теперь найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $a_2 = -5$ не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, первоначальная длина ребра куба составляет 3 см.

Проверка:
Первоначальный объем: $V_1 = 3^3 = 27$ см³.
Новое ребро: $a_{new} = 3 + 2 = 5$ см.
Новый объем: $V_2 = 5^3 = 125$ см³.
Увеличение объема: $\Delta V = V_2 - V_1 = 125 - 27 = 98$ см³.
Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 3 см.