Номер 23.16, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.16. Основанием аквариума является прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Уровень воды в нем находится на высоте 80 см. Эту воду перелили в другой аквариум, основанием которого является прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. На какой высоте будет находиться уровень воды?

Дано:

Параметры первого аквариума (1):
Сторона основания $a_1 = 40$ см
Сторона основания $b_1 = 50$ см
Высота уровня воды $h_1 = 80$ см
Параметры второго аквариума (2):
Сторона основания $a_2 = 80$ см
Сторона основания $b_2 = 100$ см

Перевод в систему СИ:
$a_1 = 0.4$ м
$b_1 = 0.5$ м
$h_1 = 0.8$ м
$a_2 = 0.8$ м
$b_2 = 1.0$ м

Найти:

Высоту уровня воды во втором аквариуме $h_2$.

Решение:

Ключевой принцип для решения этой задачи — сохранение объема жидкости. Когда воду переливают из одного сосуда в другой, ее объем не меняется.

1. Сначала вычислим объем воды в первом аквариуме. Так как аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем воды $V_1$ можно найти по формуле: $V_1 = a_1 \times b_1 \times h_1$

Подставим данные значения в формулу. Для удобства расчетов будем использовать сантиметры. $V_1 = 40 \text{ см} \times 50 \text{ см} \times 80 \text{ см} = 2000 \text{ см}^2 \times 80 \text{ см} = 160000 \text{ см}^3$

2. Объем воды во втором аквариуме $V_2$ равен объему воды, который был в первом аквариуме: $V_2 = V_1 = 160000 \text{ см}^3$

3. Объем воды во втором аквариуме также можно выразить через его параметры: площадь основания ($S_2 = a_2 \times b_2$) и искомую высоту уровня воды $h_2$. $V_2 = a_2 \times b_2 \times h_2$

4. Из этого соотношения мы можем выразить неизвестную высоту $h_2$: $h_2 = \frac{V_2}{a_2 \times b_2}$

5. Подставим известные значения и вычислим результат: $h_2 = \frac{160000 \text{ см}^3}{80 \text{ см} \times 100 \text{ см}} = \frac{160000 \text{ см}^3}{8000 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Можно также решить задачу, используя отношение площадей оснований. Уравнение сохранения объема $a_1 b_1 h_1 = a_2 b_2 h_2$ можно переписать как: $h_2 = h_1 \times \frac{a_1 b_1}{a_2 b_2} = 80 \text{ см} \times \frac{40 \text{ см} \times 50 \text{ см}}{80 \text{ см} \times 100 \text{ см}} = 80 \text{ см} \times \frac{2000}{8000} = 80 \text{ см} \times \frac{1}{4} = 20 \text{ см}$

Ответ: уровень воды во втором аквариуме будет находиться на высоте 20 см.