Номер 23.17, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.17. Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого (рис. 23.8).

Рис. 23.8

Дано:

Два единичных куба $C_1$ и $C_2$.

Длина ребра каждого куба $a = 1$.

Вершина куба $C_1$ расположена в центре куба $C_2$.

Рёбра кубов взаимно параллельны (согласно рисунку).

Найти:

Объём общей части (пересечения) кубов $V_{перес}$.

Решение:

Для решения задачи введём трёхмерную декартову систему координат. Расположим центр куба $C_2$ в начале координат, в точке $O(0, 0, 0)$. Оси координат направим параллельно рёбрам куба $C_2$.

Так как куб $C_2$ является единичным (длина ребра $a=1$) и его центр находится в начале координат, то его грани лежат в плоскостях $x = \pm 1/2$, $y = \pm 1/2$ и $z = \pm 1/2$. Пространство, занимаемое кубом $C_2$, описывается системой неравенств:

$-1/2 \le x \le 1/2$

$-1/2 \le y \le 1/2$

$-1/2 \le z \le 1/2$

По условию, одна из вершин куба $C_1$ находится в центре куба $C_2$, то есть в точке $O(0, 0, 0)$. Поскольку рёбра кубов взаимно параллельны, мы можем расположить куб $C_1$ так, чтобы его рёбра, выходящие из вершины $O$, совпадали с положительными направлениями осей координат.

В этом случае пространство, занимаемое единичным кубом $C_1$, будет описываться системой неравенств:

$0 \le x \le 1$

$0 \le y \le 1$

$0 \le z \le 1$

Общая часть (пересечение) двух кубов — это геометрическое тело, точки которого принадлежат обоим кубам. Координаты $(x, y, z)$ этих точек должны удовлетворять обеим системам неравенств одновременно. Найдём пересечение диапазонов для каждой координаты:

Для оси $x$: $x \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Для оси $y$: $y \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Для оси $z$: $z \in [-1/2, 1/2] \cap [0, 1] = [0, 1/2]$. Длина этого отрезка равна $1/2 - 0 = 1/2$.

Таким образом, область пересечения представляет собой прямоугольный параллелепипед (в данном случае — куб), ограниченный неравенствами $0 \le x \le 1/2$, $0 \le y \le 1/2$, $0 \le z \le 1/2$.

Длина ребра этого куба-пересечения равна $1/2$.

Объём этого куба вычисляется по формуле $V = b^3$, где $b$ — длина ребра.

$V_{перес} = (1/2)^3 = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8$.

Ответ: $1/8$.