Номер 23.13, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.13. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.5.

а)

б)

Рис. 23.5

а)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Из рисунка можно определить следующие размеры в условных единицах:

• Общая длина: $l = 3$
• Общая ширина (глубина): $w = 2$
• Общая высота: $h = 2$
• Длина левой части: $l_1 = 1$
• Высота правой части: $h_1 = 1$

Найти:

Объем детали $V_a$.

Решение:

Для нахождения объема данной детали можно разбить её на два прямоугольных параллелепипеда: нижнее основание и верхний блок.

1. Нижнее основание имеет длину $l = 3$, ширину $w = 2$. Его высота равна высоте правой части детали, то есть $c_1 = h_1 = 1$. Вычислим объем основания $V_1$:

$V_1 = l \cdot w \cdot c_1 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

2. Верхний блок расположен на левой части основания. Он имеет длину $l_1 = 1$ и ширину $w = 2$. Его высота $c_2$ равна разности общей высоты и высоты основания: $c_2 = h - c_1 = 2 - 1 = 1$. Вычислим объем верхнего блока $V_2$:

$V_2 = l_1 \cdot w \cdot c_2 = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$

3. Общий объем детали $V_a$ равен сумме объемов ее составляющих частей:

$V_a = V_1 + V_2 = 6 + 2 = 8$

Ответ: 8.

б)

Дано:

Деталь, полученная путем вырезания паза из прямоугольного параллелепипеда. Из рисунка можно определить следующие размеры в условных единицах:

• Габаритная длина: $L = 3$
• Габаритная ширина (глубина): $W = 2$
• Габаритная высота: $H = 2$
• Длина выреза (паза): $l_{паз} = 2$
• Ширина выреза (паза): $w_{паз} = 1$
• Высота (глубина) выреза (паза): $h_{паз} = 1$

Найти:

Объем детали $V_б$.

Решение:

Объем данной детали удобно найти, используя метод вычитания. Для этого из объема большого цельного параллелепипеда, который описывает деталь по габаритам, вычтем объем вырезанной части (паза).

1. Вычислим объем большого параллелепипеда $V_{большой}$ с габаритными размерами $L=3$, $W=2$, $H=2$:

$V_{большой} = L \cdot W \cdot H = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$

2. Вычислим объем вырезанного паза $V_{паз}$ с размерами $l_{паз}=2$, $w_{паз}=1$, $h_{паз}=1$:

$V_{паз} = l_{паз} \cdot w_{паз} \cdot h_{паз} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

3. Искомый объем детали $V_б$ равен разности объемов большого параллелепипеда и паза:

$V_б = V_{большой} - V_{паз} = 12 - 2 = 10$

Ответ: 10.