Страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.12. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.4.

а)

$11$

б)

$8$

Рис. 23.4

а)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Размеры, указанные на рисунке: общая длина основания = 3, общая ширина (глубина) = 2, общая высота = 2, длина боковых выступов = 1, высота нижней части = 1.

Найти:

Объем детали $V_{a}$.

Решение:

Для нахождения объема данной детали можно представить ее как сумму объемов нескольких прямоугольных параллелепипедов. Разобьем деталь на три части: одно большое нижнее основание и два одинаковых верхних блока по бокам.

1. Найдем объем нижнего основания ($V_{основание}$). Согласно рисунку, его измерения: длина $a_1 = 3$, ширина $b_1 = 2$, высота $c_1 = 1$. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

$V_{основание} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ (кубических единиц).

2. Найдем объем одного из верхних блоков ($V_{блок}$). Его измерения: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$. Высота верхнего блока равна разности общей высоты детали и высоты нижнего основания: $c_2 = 2 - 1 = 1$.

$V_{блок} = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ (кубические единицы).

3. Общий объем детали ($V_{a}$) равен сумме объема основания и объемов двух одинаковых верхних блоков.

$V_{a} = V_{основание} + 2 \cdot V_{блок} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10$ (кубических единиц).

Ответ: 10 кубических единиц.

б)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Размеры, указанные на рисунке: общая длина основания = 2, общая ширина (глубина) = 2, общая высота = 2, высота нижней части = 1, длина верхнего выступа = 1.

Найти:

Объем детали $V_{б}$.

Решение:

Чтобы найти объем этой детали, разобьем ее на два прямоугольных параллелепипеда, проведя мысленно горизонтальную плоскость. В результате получим нижний и верхний блоки.

1. Вычислим объем нижнего блока ($V_{низ}$). Его измерения: длина $a_1 = 2$, ширина $b_1 = 2$, высота $c_1 = 1$.

$V_{низ} = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ (кубические единицы).

2. Вычислим объем верхнего блока ($V_{верх}$). Его измерения: длина $a_2 = 1$, ширина $b_2 = 2$. Высота блока равна разности общей высоты детали и высоты нижнего блока: $c_2 = 2 - 1 = 1$.

$V_{верх} = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ (кубические единицы).

3. Общий объем детали ($V_{б}$) равен сумме объемов нижнего и верхнего блоков.

$V_{б} = V_{низ} + V_{верх} = 4 + 2 = 6$ (кубических единиц).

Ответ: 6 кубических единиц.

23.13. Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 23.5.

а)

б)

Рис. 23.5

а)

Дано:

Деталь, составленная из прямоугольных параллелепипедов. Из рисунка можно определить следующие размеры в условных единицах:

• Общая длина: $l = 3$
• Общая ширина (глубина): $w = 2$
• Общая высота: $h = 2$
• Длина левой части: $l_1 = 1$
• Высота правой части: $h_1 = 1$

Найти:

Объем детали $V_a$.

Решение:

Для нахождения объема данной детали можно разбить её на два прямоугольных параллелепипеда: нижнее основание и верхний блок.

1. Нижнее основание имеет длину $l = 3$, ширину $w = 2$. Его высота равна высоте правой части детали, то есть $c_1 = h_1 = 1$. Вычислим объем основания $V_1$:

$V_1 = l \cdot w \cdot c_1 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

2. Верхний блок расположен на левой части основания. Он имеет длину $l_1 = 1$ и ширину $w = 2$. Его высота $c_2$ равна разности общей высоты и высоты основания: $c_2 = h - c_1 = 2 - 1 = 1$. Вычислим объем верхнего блока $V_2$:

$V_2 = l_1 \cdot w \cdot c_2 = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$

3. Общий объем детали $V_a$ равен сумме объемов ее составляющих частей:

$V_a = V_1 + V_2 = 6 + 2 = 8$

Ответ: 8.

б)

Дано:

Деталь, полученная путем вырезания паза из прямоугольного параллелепипеда. Из рисунка можно определить следующие размеры в условных единицах:

• Габаритная длина: $L = 3$
• Габаритная ширина (глубина): $W = 2$
• Габаритная высота: $H = 2$
• Длина выреза (паза): $l_{паз} = 2$
• Ширина выреза (паза): $w_{паз} = 1$
• Высота (глубина) выреза (паза): $h_{паз} = 1$

Найти:

Объем детали $V_б$.

Решение:

Объем данной детали удобно найти, используя метод вычитания. Для этого из объема большого цельного параллелепипеда, который описывает деталь по габаритам, вычтем объем вырезанной части (паза).

1. Вычислим объем большого параллелепипеда $V_{большой}$ с габаритными размерами $L=3$, $W=2$, $H=2$:

$V_{большой} = L \cdot W \cdot H = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$

2. Вычислим объем вырезанного паза $V_{паз}$ с размерами $l_{паз}=2$, $w_{паз}=1$, $h_{паз}=1$:

$V_{паз} = l_{паз} \cdot w_{паз} \cdot h_{паз} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

3. Искомый объем детали $V_б$ равен разности объемов большого параллелепипеда и паза:

$V_б = V_{большой} - V_{паз} = 12 - 2 = 10$

Ответ: 10.

23.14. Ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, выходящие из одной вершины, равны 5 см, 4 см, 3 см. Найдите объем треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 23.6).

Рис. 23.6

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребра, выходящие из вершины A, равны:

$AB = a = 5$ см

$AD = b = 4$ см

$AA_1 = c = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.05$ м

$b = 0.04$ м

$c = 0.03$ м

Найти:

Объем треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В данном случае искомая фигура — это прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Ее основаниями являются треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Высотой этой призмы является боковое ребро, перпендикулярное основанию, например, $AA_1$. Из условия известно, что $h = AA_1 = 3$ см.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Так как исходная фигура — прямоугольный параллелепипед, то его основание $ABCD$ является прямоугольником. Это означает, что угол $\angle ABC$ — прямой, а треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Катетами треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Длины этих катетов равны измерениям параллелепипеда:

$AB = 5$ см

$BC = AD = 4$ см

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ (основания призмы) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем треугольной призмы:

$V_{ABCA_1B_1C_1} = S_{осн} \cdot h = 10 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Второй способ решения:

Объем всего прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

$V_{пар} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \text{ см}^3$.

Диагональное сечение $ACC_1A_1$ делит прямоугольный параллелепипед на две равные по объему треугольные призмы: $ABCA_1B_1C_1$ и $ADCA_1D_1C_1$. Следовательно, объем искомой призмы составляет половину объема всего параллелепипеда.

$V_{ABCA_1B_1C_1} = \frac{1}{2} V_{пар} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см}^3 = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: объем треугольной призмы равен $30 \text{ см}^3$.