Страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. В какую треугольную пирамиду можно вписать сферу?

2. В какую правильную пирамиду можно вписать сферу?

3. Что является центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду?

4. Что является центром сферы, вписанной в правильную пирамиду?

В какую треугольную пирамиду можно вписать сферу?

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Центр такой сферы должен быть равноудален от плоскостей всех граней. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей (граней), есть биссекторная плоскость двугранного угла, образованного этими гранями. Следовательно, для существования вписанной сферы необходимо, чтобы все биссекторные плоскости двугранных углов многогранника пересекались в одной точке. Для любой треугольной пирамиды (тетраэдра) это условие всегда выполняется: биссекторные плоскости всех шести ее двугранных углов пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром вписанной сферы.

Ответ: Сферу можно вписать в любую треугольную пирамиду.

2. В какую правильную пирамиду можно вписать сферу?

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Благодаря симметрии правильной пирамиды, все ее двугранные углы при ребрах основания равны, и все двугранные углы при боковых ребрах также равны. Биссекторные плоскости равных двугранных углов при основании пересекаются по высоте пирамиды. Таким образом, всегда существует точка на высоте пирамиды, равноудаленная от основания и всех боковых граней. Эта точка является центром вписанной сферы.

Ответ: Сферу можно вписать в любую правильную пирамиду.

3. Что является центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду?

Центр вписанной в треугольную пирамиду сферы — это точка, равноудаленная от всех четырех ее граней. Эта точка является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех шести двугранных углов пирамиды. В любой треугольной пирамиде эти плоскости всегда пересекаются в одной точке, которая и называется центром вписанной сферы (или инцентром тетраэдра).

Ответ: Центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду, является точка пересечения биссекторных плоскостей всех ее двугранных углов.

4. Что является центром сферы, вписанной в правильную пирамиду?

В правильной пирамиде центр вписанной сферы всегда лежит на ее высоте, так как высота является осью симметрии пирамиды. Чтобы определить точное положение центра, можно рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему (высоту боковой грани). Такое сечение является равнобедренным треугольником. Сечение вписанной сферы этой плоскостью будет окружностью, вписанной в данный треугольник. Центр этой окружности, а значит, и центр сферы, находится в точке пересечения высоты пирамиды (которая является биссектрисой угла при вершине в сечении) и биссектрисы угла при основании этого треугольника. Угол при основании сечения равен двугранному углу между боковой гранью и основанием пирамиды. Следовательно, центр сферы — это точка, в которой высота пирамиды пересекается с биссекторной плоскостью любого двугранного угла при ребре основания.

Ответ: Центром сферы, вписанной в правильную пирамиду, является точка пересечения ее высоты с биссекторной плоскостью двугранного угла при основании.

22.1. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, высота которой равна 2 см, а радиус окружности, вписанной в ее основание, равен 1 см.

Дано:

Правильная пирамида

Высота пирамиды, $H = 2$ см

Радиус окружности, вписанной в основание, $r_{осн} = 1$ см

$H = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r_{осн} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение содержит прямоугольный треугольник $SOM$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, а $M$ — точка касания вписанной в основание окружности со стороной основания. В этом треугольнике:

• $SO = H = 2$ см — высота пирамиды.

• $OM = r_{осн} = 1$ см — радиус окружности, вписанной в основание.

• $SM$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора найдем длину апофемы $SM$:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ см.

Центр вписанной в правильную пирамиду сферы (обозначим его точкой $I$) лежит на ее высоте $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ — это расстояние от центра $I$ до основания и до каждой боковой грани. Следовательно, отрезок $IO$ равен радиусу сферы, $IO = r$. Расстояние от точки $I$ до боковой грани, содержащей апофему $SM$, также равно $r$. Это расстояние является длиной перпендикуляра $IK$, опущенного из точки $I$ на прямую $SM$, то есть $IK = r$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ (с $\angle SOM = 90^\circ$) и $\triangle SIK$ (с $\angle SKI = 90^\circ$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle S$.

Из подобия треугольников $\triangle SIK$ и $\triangle SOM$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Подставим известные величины в данное соотношение:

• $IK = r$ (искомый радиус).

• $OM = 1$ см.

• $SM = \sqrt{5}$ см.

• $SI = SO - IO = H - r = 2 - r$.

Таким образом, получаем уравнение:

$\frac{r}{1} = \frac{2 - r}{\sqrt{5}}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$r\sqrt{5} = 2 - r$

$r\sqrt{5} + r = 2$

$r(\sqrt{5} + 1) = 2$

$r = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} - 1$:

$r = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Таким образом, радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ см.

22.2. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, высота боковой грани которой равна 2 см, а радиус окружности, вписанной в ее основание, равен 1 см.

Дано:
Пирамида правильная
Высота боковой грани (апофема), $l = 2$ см
Радиус окружности, вписанной в основание, $r_{осн} = 1$ см

В системе СИ:
$l = 0.02$ м
$r_{осн} = 0.01$ м

Найти:
Радиус вписанной сферы, $R_{сф}$

Решение:
Центр вписанной в правильную пирамиду сферы лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение содержит прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $l$ и радиусом $r_{осн}$ вписанной в основание окружности.
Пусть $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр ее основания, а $M$ - точка касания вписанной в основание окружности со стороной основания. Тогда $SO = H$ - высота пирамиды, $OM = r_{осн}$ - радиус вписанной в основание окружности, а $SM = l$ - апофема (высота боковой грани).
Треугольник $\triangle SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

1. Найдем высоту пирамиды $H$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ по теореме Пифагора:
$SM^2 = SO^2 + OM^2$
$l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$H = \sqrt{l^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

2. Центр вписанной сферы (обозначим его точкой $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$. По определению, центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды. Расстояние от центра $I$ до плоскости основания равно радиусу вписанной сферы $R_{сф}$. Расстояние от центра $I$ до плоскости боковой грани также равно $R_{сф}$.
Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе двугранного угла при ребре основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$.
Таким образом, центр сферы $I$ — это точка пересечения высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle IOM$, где $I$ — центр вписанной сферы. В этом треугольнике:
Катет $IO = R_{сф}$ (радиус вписанной сферы).
Катет $OM = r_{осн} = 1$ см.
Угол $\angle OMI$ равен половине угла $\angle SMO$.

4. Найдем тангенс угла $\angle SMO$ из треугольника $\triangle SOM$:
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r_{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Отсюда следует, что $\angle SMO = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

5. Теперь найдем величину угла $\angle OMI$:
$\angle OMI = \frac{1}{2} \angle SMO = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

6. Из прямоугольного треугольника $\triangle IOM$ находим искомый радиус $R_{сф}$:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM} = \frac{R_{сф}}{r_{осн}}$
$R_{сф} = r_{осн} \cdot \tan(\angle OMI) = 1 \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

22.3. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду,
высота которой равна 1 см, а высота боковой грани равна 2 см.

Дано:

Высота правильной пирамиды $H = 1$ см
Высота боковой грани (апофема) $h_a = 2$ см

$H = 0.01$ м
$h_a = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, находится на её высоте. Для нахождения радиуса этой сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту и апофему (высоту боковой грани). Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Круг, полученный в сечении сферы, будет вписан в этот треугольник, и его радиус будет равен радиусу $r$ вписанной сферы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, её апофемой $h_a$ и радиусом $r_{осн}$ окружности, вписанной в основание пирамиды. В этом треугольнике:

• $H$ - катет, равный высоте пирамиды.
• $r_{осн}$ - второй катет.
• $h_a$ - гипотенуза, равная апофеме.

По теореме Пифагора найдем $r_{осн}$:
$h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$r_{осн}^2 = h_a^2 - H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим сечение пирамиды. Обозначим $S$ - вершину пирамиды, $O$ - центр основания, $M$ - середину стороны основания, к которой проведена апофема. Треугольник $SOM$ - это тот самый прямоугольный треугольник, который мы рассмотрели. $SO = H = 1$ см, $SM = h_a = 2$ см, $OM = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Радиус $r$ сферы является расстоянием от точки $I$ до основания (отрезок $IO$) и до боковой грани (перпендикуляр $IK$, опущенный на апофему $SM$). Таким образом, $IO = IK = r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $SOM$ и $SIK$. Они подобны по общему острому углу $S$. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Подставим известные значения и выражения:

• $IK = r$
• $OM = \sqrt{3}$ см
• $SM = 2$ см
• $SI = SO - IO = H - r = 1 - r$

Получаем пропорцию:

$\frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{1 - r}{2}$

Решим это уравнение относительно $r$:
$2r = \sqrt{3}(1 - r)$
$2r = \sqrt{3} - \sqrt{3}r$
$2r + \sqrt{3}r = \sqrt{3}$
$r(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$r = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на выражение $(2 - \sqrt{3})$:
$r = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$

Ответ: $2\sqrt{3} - 3$ см.

22.4. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Для вывода формулы радиуса вписанной сферы воспользуемся методом объемов. Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник, связан с объемом $V$ и полной площадью поверхности $S_{полн}$ этого многогранника соотношением: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Рассчитаем объем и площадь полной поверхности для заданной правильной четырехугольной пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная, четырехугольная.
Сторона основания - $a$.
Высота пирамиды - $h$.

Найти:

Радиус вписанной сферы - $r$.

Решение:

1. Найдем объем пирамиды ($V$).
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2$
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна апофема пирамиды (высота боковой грани), обозначим ее $l$.
Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $h$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и самой апофемой $l$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$
$l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2}$
Площадь одной боковой грани равна:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} a \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4}$
Площадь всей боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4} = a\sqrt{4h^2 + a^2}$
Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a\sqrt{4h^2 + a^2} = a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})$

3. Найдем радиус вписанной сферы ($r$).
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{3} a^2 h)}{a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})} = \frac{a^2 h}{a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})}$
Сократив $a$ в числителе и знаменателе, получаем искомую формулу:
$r = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2 + a^2}}$

Ответ: $r = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2 + a^2}}$

22.5.

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 3$ см
Высота $H = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0.03$ м
$H = 0.03$ м

Найти:
Радиус вписанной сферы $r$

Решение:

Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник (в данном случае, в пирамиду), можно найти по формуле, связывающей объем многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

1. Найдем объем пирамиды $V$.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9$ см$^3$.

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Для нахождения площади боковой грани необходимо найти ее высоту, которая называется апофемой пирамиды ($h_a$).

Апофему можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

$h_a^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 = 9 + \frac{9}{4} = \frac{36+9}{4} = \frac{45}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ см.

Площадь одной боковой грани $S_{грани}$ равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{9\sqrt{5}}{4} = 9\sqrt{5}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9 + 9\sqrt{5} = 9(1+\sqrt{5})$ см$^2$.

3. Вычислим радиус вписанной сферы $r$.

Подставим найденные значения объема $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ в исходную формулу:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 9}{9(1+\sqrt{5})} = \frac{27}{9(1+\sqrt{5})} = \frac{3}{1+\sqrt{5}}$ см.

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}-1)$:

$r = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{5 - 1} = \frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$ см.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}$ см.

22.6. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, стороны основания которой равны 2 см, а боковые грани образуют с плоскостью основания угол:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания:
а) $\alpha = 30^\circ$
б) $\alpha = 45^\circ$
в) $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Радиус $r$ вписанной сферы.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и середины двух противоположных сторон основания.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а боковые стороны — апофемам пирамиды (высотам боковых граней). Высота этого треугольника является высотой пирамиды $H$. Угол при основании этого треугольника равен углу $\alpha$ наклона боковой грани к основанию.

Круг, вписанный в этот равнобедренный треугольник, является большим кругом вписанной сферы, а его радиус $r$ равен радиусу вписанной сферы.

Пусть осевое сечение — это треугольник $MSN$, где $MN$ — основание ($MN=a$), а $S$ — вершина пирамиды. Пусть $SO$ — высота пирамиды ($O$ — центр основания). В прямоугольном треугольнике $SOM$, катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = a/2$. Угол $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте $SO$ и является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$. Катет $IO = r$ (радиус вписанной сферы), катет $OM = a/2$. Угол $\angle IMO$ является половиной угла $\angle SMO$, то есть $\angle IMO = \alpha/2$.

Из треугольника $IOM$ получаем соотношение:$ \text{tg}(\angle IMO) = \frac{IO}{OM} $$ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a/2} $

Отсюда выражаем радиус вписанной сферы:$ r = \frac{a}{2} \cdot \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) $

Подставим известное значение $a = 2 \text{ см}$. Тогда $a/2 = 1 \text{ см}$. Формула для вычисления радиуса принимает вид:$ r = \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) \text{ см} $

Теперь вычислим радиус для каждого из трех случаев.

а) Угол $\alpha = 30^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.
$r = \text{tg}(15^\circ)$.
Используем формулу тангенса половинного угла: $\text{tg}(\frac{x}{2}) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$.
$\text{tg}(15^\circ) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \sqrt{3}$.
Следовательно, $r = (2 - \sqrt{3}) \text{ см}$.
Ответ: $r = (2 - \sqrt{3}) \text{ см}$.

б) Угол $\alpha = 45^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$.
$r = \text{tg}(22.5^\circ)$.
$\text{tg}(22.5^\circ) = \frac{1 - \cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2} - 1$.
Следовательно, $r = (\sqrt{2} - 1) \text{ см}$.
Ответ: $r = (\sqrt{2} - 1) \text{ см}$.

в) Угол $\alpha = 60^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
$r = \text{tg}(30^\circ)$.
$\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Ответ: $r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

22.7. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сторона основания = $a$

Высота пирамиды = $h$

Найти:

Формулу для радиуса вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр вписанной в правильную пирамиду сферы лежит на ее высоте. Обозначим пирамиду $SABC$, где $ABC$ – основание, а $S$ – вершина. $SO=h$ – высота пирамиды, $O$ – центр основания.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему основания $OM$, где $M$ – середина стороны основания $BC$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$.

1. Найдем длину апофемы основания $OM$. Основание $ABC$ – равносторонний треугольник со стороной $a$. $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Высота равностороннего треугольника равна $a\sqrt{3}/2$. Центр $O$ делит медиану (она же высота) в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, радиус вписанной окружности:

$OM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем длину апофемы боковой грани $SM$ (также называемой высотой боковой грани). В прямоугольном треугольнике $SOM$ по теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = h^2 + \frac{3a^2}{36} = h^2 + \frac{a^2}{12}$

$SM = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

3. Центр вписанной сферы $O_с$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра $O_с$ до плоскости основания равно радиусу вписанной сферы $r$. Также расстояние от $O_с$ до любой боковой грани равно $r$.

В нашем сечении, треугольнике $SOM$, центр $O_с$ лежит на катете $SO$. Расстояние от $O_с$ до катета $OM$ (лежащего в плоскости основания) равно $r$, то есть $O_сO = r$. Расстояние от $O_с$ до гипотенузы $SM$ (лежащей в плоскости боковой грани) также равно $r$.

Рассмотрим подобные треугольники. Проведем из точки $O_с$ перпендикуляр $O_сP$ к апофеме $SM$. $O_сP = r$. Прямоугольные треугольники $SPO_с$ и $SOM$ подобны по общему острому углу $S$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{SO_с}{SM} = \frac{O_сP}{OM}$

Подставим известные величины:

$SO_с = SO - O_сO = h - r$

$O_сP = r$

$OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$SM = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Получаем уравнение:

$\frac{h - r}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}} = \frac{r}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$

4. Решим это уравнение относительно $r$:

$(h-r) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = r \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

$\frac{ha\sqrt{3}}{6} - r\frac{a\sqrt{3}}{6} = r \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

$\frac{ha\sqrt{3}}{6} = r \left( \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)$

$r = \frac{\frac{ha\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + \frac{a\sqrt{3}}{6}}$

Умножим числитель и знаменатель на 6, чтобы избавиться от дробей:

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{6\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + a\sqrt{3}}$

Внесем 6 под корень в знаменателе:

$6\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} = \sqrt{36\left(h^2 + \frac{a^2}{12}\right)} = \sqrt{36h^2 + 3a^2}$

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{36h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3}}$

Вынесем $\sqrt{3}$ за скобку в знаменателе:

$\sqrt{36h^2 + 3a^2} = \sqrt{3(12h^2 + a^2)} = \sqrt{3}\sqrt{12h^2 + a^2}$

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{12h^2 + a^2} + a\sqrt{3}} = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{12h^2 + a^2} + a)}$

Сократив на $\sqrt{3}$, получаем окончательную формулу:

$r = \frac{ha}{a + \sqrt{12h^2 + a^2}}$

Ответ: $r = \frac{ha}{a + \sqrt{12h^2 + a^2}}$

22.8. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

22.9. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребро...

Дано:

Правильная треугольная пирамида $SABC$.

Сторона основания $AB = BC = AC = a = 2$ см.

Высота пирамиды $SO = H = 1$ см.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в многогранник, можно найти по формуле, связывающей объем многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r_{сф} = \frac{3V}{S_{полн}}$

Для удобства будем производить вычисления в сантиметрах.

1. Найдем объем пирамиды $V$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$

В основании пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a=2$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь найдем объем пирамиды, зная, что высота $H = 1$ см:

$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания $S_{осн}$ мы уже нашли: $S_{осн} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани}$, где $S_{грани}$ - площадь одной боковой грани.

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot L$, где $L$ - апофема (высота боковой грани).

Чтобы найти апофему, рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), $M$ - середина стороны основания $BC$. Катет $SO$ - это высота пирамиды $H=1$ см. Катет $OM$ - это радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$. Гипотенуза $SM$ - это апофема $L$.

Найдем радиус вписанной в основание окружности:

$r_{осн} = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$ найдем апофему $L$:

$L = SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2}$

$L = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot L = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу:

$r_{сф} = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ см.

Альтернативный метод (через подобие треугольников):

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SM$. Это прямоугольный треугольник $SOM$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Сфера касается основания в точке $O$ и боковой грани $SBC$ в некоторой точке $K$ на апофеме $SM$. Расстояние от центра $I$ до апофемы $SM$ (перпендикуляр $IK$) и до основания $OM$ (отрезок $IO$) равно радиусу вписанной сферы $r_{сф}$.

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники $\triangle SOM$ и $\triangle SIK$ (по общему острому углу $\angle OSM$).

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Здесь $IK = r_{сф}$, $OM = r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см, $SM = L = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см, $SI = SO - IO = H - r_{сф} = 1 - r_{сф}$.

Подставляем значения в пропорцию:

$\frac{r_{сф}}{1/\sqrt{3}} = \frac{1 - r_{сф}}{2/\sqrt{3}}$

$r_{сф} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = (1 - r_{сф}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$2r_{сф} = 1 - r_{сф}$

$3r_{сф} = 1$

$r_{сф} = \frac{1}{3}$ см.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{1}{3}$ см.

22.9. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребра которого равны 1 см.

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 1$ см

В системе СИ:

$a = 0.01$ м

Найти:

$r$ — радиус вписанной сферы.

Решение:

Радиус вписанной в многогранник сферы можно найти по формуле $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$, где $V$ — объём многогранника, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности. Отсюда $r = \frac{3V}{S_{полн}}$. Однако существует и более короткий геометрический способ для правильного тетраэдра.

Центр вписанной сферы в правильном тетраэдре совпадает с его центром (центроидом) — точкой пересечения высот. Эта точка делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Радиус вписанной сферы $r$ равен длине меньшего отрезка, т.е. расстоянию от центра до грани. Таким образом, $r = \frac{1}{4}H$, где $H$ — высота тетраэдра.

Найдем высоту $H$ правильного тетраэдра с ребром $a$. Пусть $DABC$ — правильный тетраэдр, $DO$ — его высота, опущенная на основание $ABC$. Основание $ABC$ — правильный треугольник. Точка $O$ является центром этого треугольника.

Рассмотрим основание $ABC$. Пусть $CM$ — высота (и медиана) этого треугольника. Длина высоты правильного треугольника со стороной $a$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $O$ (центр треугольника) делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, расстояние от вершины основания до его центра равно $CO = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOC$. Гипотенуза $DC$ — это ребро тетраэдра, равное $a$. Катет $CO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Катет $DO$ — это высота тетраэдра $H$. По теореме Пифагора: $H^2 = DC^2 - CO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$ $H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Теперь мы можем найти радиус вписанной сферы: $r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Подставим в эту формулу заданное значение длины ребра $a = 1$ см: $r = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{6}}{12}$ см.

22.10. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания: $a$
Высота пирамиды: $h$

Найти:

Радиус вписанной сферы: $r$

Решение:

Для вывода формулы радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину $S$, центр основания $O$ и середину $M$ одной из сторон основания. Это сечение содержит прямоугольный треугольник $\triangle SOM$, где $SO$ — высота пирамиды, $OM$ — апофема основания, а $SM$ — апофема (высота боковой грани) пирамиды.

Центр вписанной сферы $O_с$ лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус сферы $r$ равен расстоянию от ее центра до плоскости основания и до каждой из боковых граней.

Найдем длины сторон прямоугольного треугольника $\triangle SOM$:
1. Катет $SO$ — это высота пирамиды: $SO = h$.
2. Катет $OM$ — это апофема правильного шестиугольника в основании. Она равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$:
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Гипотенуза $SM$ — апофема пирамиды. Найдем ее по теореме Пифагора:
$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4h^2 + 3a^2}}{2}$.

Центр сферы $O_с$ находится на отрезке $SO$. Расстояние от центра до основания равно радиусу, поэтому $O_сO = r$. Следовательно, расстояние от вершины пирамиды до центра сферы равно $SO_с = SO - O_сO = h - r$.
Расстояние от центра сферы до боковой грани также равно радиусу. В нашем сечении это расстояние — перпендикуляр $O_сK$, опущенный из точки $O_с$ на апофему $SM$. Таким образом, $O_сK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKO_с$ (с прямым углом при вершине $K$). Он подобен исходному треугольнику $\triangle SOM$, так как у них общий острый угол при вершине $S$.

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон. Например, отношение катета, противолежащего углу $S$, к гипотенузе (то есть синус угла $S$) должно быть одинаковым для обоих треугольников:
$\frac{OM}{SM} = \frac{O_сK}{SO_с}$

Подставим в это соотношение известные нам величины:
$\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{4h^2 + 3a^2}}{2}} = \frac{r}{h-r}$

Упростим дробь в левой части, сократив на 2:
$\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2 + 3a^2}} = \frac{r}{h-r}$

Решим это уравнение относительно $r$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):
$a\sqrt{3} \cdot (h-r) = r \cdot \sqrt{4h^2 + 3a^2}$
$h a\sqrt{3} - r a\sqrt{3} = r\sqrt{4h^2 + 3a^2}$
$h a\sqrt{3} = r\sqrt{4h^2 + 3a^2} + r a\sqrt{3}$
$h a\sqrt{3} = r(\sqrt{4h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3})$

Отсюда выражаем искомую величину $r$:
$r = \frac{h a\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3}}$

Ответ: $r = \frac{h a\sqrt{3}}{a\sqrt{3} + \sqrt{4h^2 + 3a^2}}$.

22.11. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см.

Дано:

Пирамида — правильная шестиугольная.

Сторона основания, $a = 1$ см

Высота пирамиды, $H = 2$ см

$a = 0.01$ м

$H = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, можно найти через осевое сечение. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды $SO$ и апофему боковой грани $SK$, где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, а $K$ – середина стороны основания.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, образованный двумя апофемами противоположных боковых граней и отрезком, соединяющим их основания. Радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в этот равнобедренный треугольник.

1. Найдем апофему основания. В основании лежит правильный шестиугольник. Апофема основания (расстояние от центра до стороны) $OK$ равна радиусу вписанной в шестиугольник окружности и вычисляется по формуле:

$OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляя значение $a=1$ см, получаем:

$OK = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

2. Найдем апофему боковой грани пирамиды $SK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $SO=H=2$ см, а $OK = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. По теореме Пифагора:

$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16+3}{4}} = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ см

3. Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник, являющийся осевым сечением. Его основание равно удвоенной апофеме основания пирамиды, т.е. $2 \cdot OK = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см. Боковые стороны равны апофеме пирамиды $SK = \frac{\sqrt{19}}{2}$ см. Высота этого треугольника равна высоте пирамиды $H=2$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в этот треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{A}{s}$, где $A$ – площадь треугольника, а $s$ – его полупериметр.

Вычислим площадь треугольника $A$:

$A = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot OK) \cdot H = OK \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$ см$^2$

Вычислим полупериметр $s$:

$s = \frac{SK + SK + (2 \cdot OK)}{2} = \frac{\frac{\sqrt{19}}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{3}}{2}$ см

Теперь найдем радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{A}{s} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{19} + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19} + \sqrt{3}}$ см

4. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{19} - \sqrt{3})$:

$r = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{19} - \sqrt{3})}{(\sqrt{19} + \sqrt{3})(\sqrt{19} - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{19} - 2\sqrt{3}\sqrt{3}}{19 - 3} = \frac{2\sqrt{57} - 6}{16} = \frac{2(\sqrt{57} - 3)}{16} = \frac{\sqrt{57} - 3}{8}$ см

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{57} - 3}{8}$ см.