Номер 22.6, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.6. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, стороны основания которой равны 2 см, а боковые грани образуют с плоскостью основания угол:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания:
а) $\alpha = 30^\circ$
б) $\alpha = 45^\circ$
в) $\alpha = 60^\circ$

Найти:

Радиус $r$ вписанной сферы.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, лежит на ее высоте. Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и середины двух противоположных сторон основания.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне основания пирамиды $a$, а боковые стороны — апофемам пирамиды (высотам боковых граней). Высота этого треугольника является высотой пирамиды $H$. Угол при основании этого треугольника равен углу $\alpha$ наклона боковой грани к основанию.

Круг, вписанный в этот равнобедренный треугольник, является большим кругом вписанной сферы, а его радиус $r$ равен радиусу вписанной сферы.

Пусть осевое сечение — это треугольник $MSN$, где $MN$ — основание ($MN=a$), а $S$ — вершина пирамиды. Пусть $SO$ — высота пирамиды ($O$ — центр основания). В прямоугольном треугольнике $SOM$, катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = a/2$. Угол $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте $SO$ и является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$. Катет $IO = r$ (радиус вписанной сферы), катет $OM = a/2$. Угол $\angle IMO$ является половиной угла $\angle SMO$, то есть $\angle IMO = \alpha/2$.

Из треугольника $IOM$ получаем соотношение:$ \text{tg}(\angle IMO) = \frac{IO}{OM} $$ \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{a/2} $

Отсюда выражаем радиус вписанной сферы:$ r = \frac{a}{2} \cdot \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) $

Подставим известное значение $a = 2 \text{ см}$. Тогда $a/2 = 1 \text{ см}$. Формула для вычисления радиуса принимает вид:$ r = \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) \text{ см} $

Теперь вычислим радиус для каждого из трех случаев.

а) Угол $\alpha = 30^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.
$r = \text{tg}(15^\circ)$.
Используем формулу тангенса половинного угла: $\text{tg}(\frac{x}{2}) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$.
$\text{tg}(15^\circ) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \sqrt{3}$.
Следовательно, $r = (2 - \sqrt{3}) \text{ см}$.
Ответ: $r = (2 - \sqrt{3}) \text{ см}$.

б) Угол $\alpha = 45^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$.
$r = \text{tg}(22.5^\circ)$.
$\text{tg}(22.5^\circ) = \frac{1 - \cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2} - 1$.
Следовательно, $r = (\sqrt{2} - 1) \text{ см}$.
Ответ: $r = (\sqrt{2} - 1) \text{ см}$.

в) Угол $\alpha = 60^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
$r = \text{tg}(30^\circ)$.
$\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.
Ответ: $r = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.