Вопросы, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. В какую треугольную пирамиду можно вписать сферу?

2. В какую правильную пирамиду можно вписать сферу?

3. Что является центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду?

4. Что является центром сферы, вписанной в правильную пирамиду?

В какую треугольную пирамиду можно вписать сферу?

Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней. Центр такой сферы должен быть равноудален от плоскостей всех граней. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей (граней), есть биссекторная плоскость двугранного угла, образованного этими гранями. Следовательно, для существования вписанной сферы необходимо, чтобы все биссекторные плоскости двугранных углов многогранника пересекались в одной точке. Для любой треугольной пирамиды (тетраэдра) это условие всегда выполняется: биссекторные плоскости всех шести ее двугранных углов пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром вписанной сферы.

Ответ: Сферу можно вписать в любую треугольную пирамиду.

2. В какую правильную пирамиду можно вписать сферу?

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Благодаря симметрии правильной пирамиды, все ее двугранные углы при ребрах основания равны, и все двугранные углы при боковых ребрах также равны. Биссекторные плоскости равных двугранных углов при основании пересекаются по высоте пирамиды. Таким образом, всегда существует точка на высоте пирамиды, равноудаленная от основания и всех боковых граней. Эта точка является центром вписанной сферы.

Ответ: Сферу можно вписать в любую правильную пирамиду.

3. Что является центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду?

Центр вписанной в треугольную пирамиду сферы — это точка, равноудаленная от всех четырех ее граней. Эта точка является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех шести двугранных углов пирамиды. В любой треугольной пирамиде эти плоскости всегда пересекаются в одной точке, которая и называется центром вписанной сферы (или инцентром тетраэдра).

Ответ: Центром сферы, вписанной в треугольную пирамиду, является точка пересечения биссекторных плоскостей всех ее двугранных углов.

4. Что является центром сферы, вписанной в правильную пирамиду?

В правильной пирамиде центр вписанной сферы всегда лежит на ее высоте, так как высота является осью симметрии пирамиды. Чтобы определить точное положение центра, можно рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему (высоту боковой грани). Такое сечение является равнобедренным треугольником. Сечение вписанной сферы этой плоскостью будет окружностью, вписанной в данный треугольник. Центр этой окружности, а значит, и центр сферы, находится в точке пересечения высоты пирамиды (которая является биссектрисой угла при вершине в сечении) и биссектрисы угла при основании этого треугольника. Угол при основании сечения равен двугранному углу между боковой гранью и основанием пирамиды. Следовательно, центр сферы — это точка, в которой высота пирамиды пересекается с биссекторной плоскостью любого двугранного угла при ребре основания.

Ответ: Центром сферы, вписанной в правильную пирамиду, является точка пересечения ее высоты с биссекторной плоскостью двугранного угла при основании.